per individuare il triangolo \(AVB\), posto che \(V\) ha coordinate \((1;-2)\), determiniamo le intersezioni \(A\) e \(B\) tra la parabola e le rette passanti per \(V\) e di pendenza rispettivamente \(m\) e \(-1/m\), con \(m>0\), cioè \(y=m(x-1)-2\) e \(y=-(x-1)/m-2\), da cui, una volta risolte le equazioni risultanti (che hanno entrambe una soluzione \(x=1\) corrispondente al vertice \(V\)): \[A\left( \frac{2+m}{2};\frac{{{m}^{2}}-4}{2} \right)\]\[B\left( \frac{2m-1}{2m};\frac{1-4{{m}^{2}}}{2{{m}^{2}}} \right)\quad .\]
L’area del triangolo \(AVB\) in funzione di \(m\) è quindi: \[S\left( m \right)=\frac{1}{2}\overline{AV}\cdot \overline{BV}=\frac{1+{{m}^{2}}}{8m}\] che, derivata, implica, posto che \(m>0\): \[S'\left( m \right)=\frac{{{m}^{2}}-1}{8{{m}^{2}}}\to S'\left( m \right)=0\leftrightarrow m=1\]
che è il valore di minimo cercato, come si deduce dal segno di \(S’(m)\). L’area minima è quindi:
\[S\left( 1 \right)=\frac{1}{4}\quad .\]
Massimo Bergamini
