In equilibrio

Ricevo da Andrea la seguente domanda: Gentile professore, può aiutarmi a trovare il valore di \(x\) dopo avere eguagliato le due funzioni riportate nel seguente problema (n.36, pag.12, Verso la seconda prova di matematica)? Quando un bene è disponibile in abbondanza, il parametro che equilibra la domanda e l’offerta del bene stesso è il suo prezzo di vendita. Se \(x\) è il prezzo in euro a unità di un bene, \(d(x)=e^{1-x}\) la legge della domanda e \(g(x)=\frac{1}{2}x\) la legge dell’offerta, allora: a. determina il prezzo di equilibrio del bene con due cifre decimali esatte, ossia il prezzo per il quale domanda e offerta assumono lo stesso valore; b. traccia il grafico qualitativo della funzione \(h(x)=|d(x)-g(x)|\), distanza tra domanda e offerta; c. stabilisci per quale prezzo \(x\in\left[ 0,50;3 \right]\) si ottiene la massima distanza tra domanda e offerta. Che tipo di singolarità rappresenta per \(h(x)\) il prezzo di equilibrio del punto a.? Grazie. Gli rispondo così: Caro Andrea, per rispondere alla prima domanda, si tratta di risolvere l’equazione algebrico-trascendente \[{{e}^{1-x}}-\frac{1}{2}x=0\] che non può essere risolta con metodi finiti, ma la cui soluzione può essere approssimata con uno dei vari metodi di calcolo numerico, ad esempio il metodo di bisezione o il metodo delle tangenti di Newton. Tale soluzione esiste sicuramente ed è unica: infatti, la funzione \[f\left( x \right)={{e}^{1-x}}-\frac{1}{2}x\] è ovunque continua, derivabile con derivata sempre negativa, quindi monotona decrescente, e cambia segno nell’intervallo \(\left[ 1,2 \right]\), essendo \(f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}>0\), \(f\left( 2 \right)={{e}^{-1}}-1<0\). Utilizzando il metodo delle tangenti, a partire da \(x_1=1\), otteniamo la formula ricorsiva\[{{x}_{1}}=1\quad {{x}_{n+1}}={{x}_{n}}-\frac{f\left( {{x}_{n}} \right)}{f'\left( {{x}_{n}} \right)}=\frac{2\left( {{x}_{n}}+1 \right)}{2+{{e}^{{{x}_{n}}-1}}}\] che porta rapidamente, con l’aiuto di una calcolatrice o di un foglio di calcolo, ai seguenti valori: \[{{x}_{1}}=1\quad {{x}_{2}}=1,374322532274\quad {{x}_{3}}=1,374822455817\quad {{x}_{4}}=1,374822528184\quad ...\] Il prezzo d’equilibrio con l’approsimazione richiesta è quindi \(x=1,375\). Tracciato il grafico della funzione \(h(x)=|d(x)-g(x)|\), si può osservare che nell’intervallo

\(x\in\left[ 0,50;3 \right]\) è costituito da due archi, l’uno decrescente e l’altro crescente, aventi un punto angoloso in comune in corrispondenza all’ascissa \(x=1,375\) relativa al prezzo d’equilibrio: infatti, in tale punto la derivata della funzione non è definita, essendo di segno opposto il rapporto incrementale destro rispetto a quello sinistro. Riguardo al massimo valore che \(h(x)\) assume nell’intervallo in questione, da un confronto tra \(h(0,5)\approx 1,3987\) e \(h(3)\approx 1,3647\), si deduce che la massima distanza tra domanda e offerta, nell’intervallo, si realizza per un prezzo \(x=0,5\). Massimo Bergamini

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