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Un integrale immediato

Leonardo chiede aiuto per il calcolo del seguente integrale: \[\int{\frac{{{e}^{x}}+x{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx\quad .}\]
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Ricevo da Leonardo la seguente domanda:   Gentilissimo professore, ho difficoltà a svolgere questo integrale:          \[\int{\frac{{{e}^{x}}+x{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx\quad .}\] Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Leonardo, l’integrale è di calcolo immediato nel momento in cui si riconosce che il numeratore della frazione è la derivata del denominatore:  \[D\left( x{{e}^{x}}+1 \right)={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}\] per cui, trattandosi di un integrale della forma \[\int{\frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx=\int{d\ln \left( f\left( x \right) \right)=\ln \left| f\left( x \right) \right|}}+c\] si ha: \[\int{\frac{{{e}^{x}}+x{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx}=\ln \left| x{{e}^{x}}+1 \right|+c\quad .\] Massimo Bergamini

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