Probabilità

Ricevo da Leonardo la seguente domanda: Gentilissimo professore, Le volevo chiedere come risolvere questo problema. In un'urna vi sono \(5\) palline rosse e \(10\) gialle; in una seconda urna ci sono \(8\) palline rosse. Si prende a caso una pallina dalla prima urna e la si inserisce nella seconda. Si estraggono poi a caso due palline, una da ciascuna urna. Qual è la probabilità che siano entrambe rosse? Grazie. Gli rispondo così: Caro Leonardo, l’evento \(E\) in questione può vedersi come l’unione di due eventi disgiunti: “estraggo Rosso dalla prima urna poi estraggo Rosso dalla prima et estraggo Rosso dalla seconda”, “estraggo Giallo dalla prima urna poi estraggo Rosso dalla prima et estraggo Rosso dalla seconda”; si tratta quindi di sommare due addendi, ciascuno dato dal prodotto di tre fattori. Poiché: “estraggo Rosso dalla prima” ha probabilità \(\frac{1}{3}\), “estraggo Giallo dalla prima” ha probabilità \(\frac{2}{3}\), “avendo estratto Rosso dalla prima, dopo estraggo Rosso dalla prima,” ha probabilità \(\frac{2}{7}\), “avendo estratto Rosso dalla prima, dopo estraggo Rosso dalla seconda,” ha probabilità \(1\), “avendo estratto Giallo dalla prima, dopo estraggo Rosso dalla prima,” ha probabilità \(\frac{5}{14}\), “avendo estratto Rosso dalla prima, dopo estraggo Rosso dalla seconda,” ha probabilità \(\frac{8}{9}\), si ha: \[p\left( E \right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{7}\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{14}\cdot\frac{8}{9}=\frac{2}{21}+\frac{40}{189} =\frac{58}{189} \quad .\] Massimo Bergamini

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