Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
Tecnologia
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Podcast
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca
L'esperto di matematica

Rette e piani nello spazio cartesiano

Ricevo da Andrea una serie di domande relative alla geometria analitica di rette e piani nello spazio.
leggi
Ricevo da Andrea la seguente domanda:   Buon giorno Professore, le sarei grato se mi potesse dare una mano nella svolgimento di questi esercizi (n.60, pag.1109 e n.87, pag. 1112 Matematica.blu 2.0): Determina il punto \(P\) equidistante dai punti \(A\left( 1;1;1 \right)\), \(B\left( 2;0;1 \right)\), \(C\left( 0;0;2 \right)\) e appartenente al piano di equazione \(x-y+3z=0\).   Verifica che la retta di equazioni \(\left\{ \begin{array}{ll} x+2y-z+1=0 \\ x-y-2z-1=0 \end{array} \right.\) giace sul piano di equazione  \(4x+11y-3z+6=0\).   e sciogliere qualche dubbio:   1) Come calcolare l'equazione di una retta passante per un punto noto \(A\) e perpendicolare a quella passante per i punti \(B\) e \(C\)? 2) Date due rette come faccio a vedere se sono complanari, sghembe, parallele ecc., sia tra loro che in rapporto al piano? 3) Determinare l'equazione di una retta passante per un punto \(P\) di cordinate conosciute e parallela a un piano dato. La ringrazio anticipamente Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Andrea, riguardo al primo esercizio, possiamo esprimere le coordinate di un generico punto \(P\) del piano \(x-y+3z=0\) in questo modo: \(P\left( x,x+3z,z \right)\), quindi, imponedo \({{\overline{PA}}^{2}}={{\overline{PB}}^{2}}\):  \[{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( x+3z-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( x+3z \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}\to z=-\frac{1}{3}\] da cui \(P=P\left( x,x-1,-\frac{1}{3} \right)\), e imponendo l’uguaglianza \({{\overline{PB}}^{2}}={{\overline{PC}}^{2}}\) si ha: \[{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}+\frac{16}{9}={{x}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}+\frac{49}{9}\to x=\frac{1}{12}\to y=-\frac{11}{12}\] cioè \(P=P\left( \frac{1}{12},-\frac{11}{12},-\frac{1}{3} \right)\). Riguardo al secondo esercizio, possiamo riscrivere l’equazione della retta nel seguente modo, esplicitando \(y\) e \(z\) in funzione di \(x\): \[\left\{ \begin{array}{ll} y=-\frac{1}{5}x-\frac{3}{5} \\ z=-\frac{3}{5}x-\frac{1}{5} \end{array} \right.\] quindi, sostituendo nell’equazione del piano, verifichiamo l’identità che dimostra la tesi:                     \[4x+11\left( -\frac{1}{5}x-\frac{3}{5} \right)-3\left( \frac{3}{5}x-\frac{1}{5} \right)+6=0\quad .\] Riguardo ai tuoi dubbi, mi limito a qualche indicazione, essendo necessaria una trattazione più ampia per rispondere in modo esauriente. 1) Dati due punti \(B\) e \(C\), ricavati i coefficienti direttivi della retta \({{r}_{BC}}\), cioè \(l={{x}_{C}}-{{x}_{B}}\), \(m={{y}_{C}}-{{y}_{B}}\), \(n={{z}_{C}}-{{z}_{B}}\), possiamo esprimere le coordinate di un generico punto \(P\in {{r}_{BC}}\) in funzione del parametro reale \(t\), cioè \(P=P\left( {{x}_{B}}+lt;{{y}_{B}}+mt;{{z}_{B}}+nt \right)\), e quindi ricavare i coefficienti direttivi \(l’\), \(m’\), \(n’\) della generica retta \({{s}_{AP}}\), passante per \(A\) e \(P\), in funzione di \(t\), e infine imporre la condizione di perpendicolarità, cioè: \(ll'+mm'+nn'=0\), che risulta essere un’equazione per la sola incognita \(t\), ricavata la quale si ha l’equazione della retta \({{r}_{A}}\bot {{r}_{BC}}\). Ad esempio: \[B\left( 1;1;1 \right),\ C\left( 2;0;3 \right),\ A\left( 0;1;2 \right)\to l=1,m=-1,n=2\to\]\[\to P\left( 1+t;1-t;1+2t \right)\to l'=1+t,m'=-t,n'=2t-1\to\] \[\to 1+t+t+4t-2=0\to t=\frac{1}{6}\to l'=\frac{7}{6},m'=-\frac{1}{6},n'=-\frac{2}{3}\to\] \[\to\left\{ \begin{array}{lll} x=\frac{7}{6}t \\ y=1-\frac{1}{6}t \\ z=2-\frac{2}{3}t \end{array} \right.\quad .\] 2) Dato un piano di equazione \(ax+by+cz+d=0\) e una retta \(r\) di coefficienti direttivi \(l\), \(m\) e \(n\), passante per \(\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}};{{z}_{A}} \right)\), ricordando che \(a\), \(b\) e \(c\) sono le componenti di un vettore perpendicolare al piano, mentre \(l\), \(m\) e \(n\) sono le componenti di un vettore parallelo alla retta, la condizione di incidenza in un solo punto è \(al+bm+cn\ne 0\), mentre la condizione \(al+bm+cn=0\;\wedge \; a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c{{z}_{A}}+d\ne 0\) significa parallelismo retta-piano (se fosse \(al+bm+cn=0\;\wedge \; a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c{{z}_{A}}+d = 0\) si avrebbe che la retta appartiene al piano). Data una seconda retta \(r’\) di coefficienti direttivi \(l’\), \(m’\) e \(n’\), passante per \(\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}} \right)\), si ha parallelismo tra \(r\) e \(r’\) se e solo se \(\frac{l'}{l}=\frac{m'}{m}=\frac{n'}{n}\) (e in particolare, se \(A\in r’\), si ha \(r=r’\)), e in tal caso esiste un piano contenente sia \(r\) che \(r’\), mentre se \(r\) ed \(r’\) non sono parallele, si hanno due possibilità: se \(r\cap r'\ne \varnothing \) le rette sono incidenti in un punto ed esiste un piano che le contiene entrambe, mentre se \(r\cap r' = \varnothing \) le rette sono sghembe. In entrambi i casi, si può verificare in particolare che \(r\) e \(r’\) risultino perpendicolari, e ciò si verifica se e solo se \(ll'+mm'+nn'=0\). 3) Abbiamo già visto questa relazione al punto precedente; è chiaro che vi sono infinite rette che soddisfano la condizione, e queste formano un piano parallelo a quello assegnato. Un esempio: dati il punto \(P=P\left( 1;1;1 \right)\) e il piano di equazione \(x+y+z=0\), non passante per \(P\), i coefficienti direttivi della generica retta per \(P\) devono soddisfare la relazione \(l+m+n=0\) affinchè si abbia parallelismo; se fissiamo arbitrariamente \(l=1\) e \(m=1\), si ha \(n=-2\), e quindi la retta \[\left\{ \begin{array}{lll} x=1+t \\ y=1+t \\ z=1-2t \end{array} \right.\] è una delle parallele richieste. Massimo Bergamini

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento