Pertanto, le due rette coincidono se e solo se \(s\) e \(t\) soddisfano il seguente sistema simmetrico, che si ottiene uguagliando i coefficienti angolari e i termini noti delle due rette: \[\left\{ \begin{array}{ll} t^3-s^3=t-s \\ 3(t^4-s^4)=2(t^2-s^2) \end{array} \right.\] e tenendo conto che le soluzioni date da \(s=t\) non interessano, in quanto ovviamente dovute a due rette tangenti nello stesso punto \(A=B\), possiamo eliminare i fattori comuni \((t-s)\) dal sistema di equazioni, ottenendo il sistema residuo: \[\left\{ \begin{array}{ll} t^2+st+s^2=1 \\ (t+s)(3(t^2+s^2)-2)=0 \end{array} \right.\quad .\] Dalla seconda delle equazioni si hanno due possibilità, per cui il sistema risulta equivalente all’unione di due altri sistemi: \[\left\{ \begin{array}{ll} t^2+st+s^2=1 \\ t=-s \end{array} \right.\quad\vee\quad \left\{ \begin{array}{ll} t^2+st+s^2=1 \\ t^2+s^2=\frac{2}{3} \end{array} \right.\] da cui, sostituendo nella prima equazione: \[\left\{ \begin{array}{ll} s^2=1 \\ t=-s \end{array} \right.\quad\vee\quad \left\{ \begin{array}{ll} st=\frac{1}{3} \\ t^2+s^2=\frac{2}{3} \end{array} \right.\] le cui soluzioni sono, per il primo dei due sistemi, la coppia \(s=1\;\wedge t=-1\) e la relativa simmetrica equivalente, per il secondo sistema la coppia \(s=\frac{1}{\sqrt{3}}\;\wedge t=\frac{1}{\sqrt{3}}\), non accettabile in quanto \(s=t\). In conclusione, l’unica retta tangente alla curva in due punti distinti, \(A(1;0)\) e \(B(-1;-2)\), ha equazione: \[{{r}_{A}}={{r}_{B}}:y=x-1\quad .\]
Massimo Bergamini
