a. Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni, motivando le risposte.
1. In base al teorema di Lagrange, deve esistere almeno un valore di \(x\) interno all’intervallo \(\left[ 0;4 \right]\) tale che \(f’(x)=-1\).
2. In base al teorema di Lagrange, non può esistere alcun valore di \(x\) interno all’intervallo \(\left[ 0;4 \right]\) tale che \(f’(x)=-1\).
3. La funzione \(f(x)\) non è ovunque derivabile in \(\left[ 0;4 \right]\).
4. La funzione integrale \(F\left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt}\) non è ovunque derivabile in \(\left[ 0;4 \right]\).
5. La funzione \(f(x)\) presenta un punto di minimo relativo e un punto di massimo relativo in \(\left[ 0;4 \right]\).
b. Date le funzioni \(h\left( x \right)=\frac{-x+a}{x+1}\) e \(k\left( x \right)=-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{3}{4}x+b\), determina i valori delle costanti \(a\) e \(b\) in modo tale che sia: \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} h(x)\quad se\;0\le x\le1 \\ k(x)\quad se\;1<x\le 4 \end{array} \right.\quad .\]
c. Traccia i grafici di \(h(x)\) e \(k(x)\) nell’intervallo \(\left[ 0;4 \right]\) per i valori di \(a\) e \(b\) determinati al punto precedente. La regione sottesa a \(f(x)\) in \(\left[ 0;4 \right]\) risulta così suddivisa in tre sottoregioni: calcola l’area di ciascuna di esse.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Paola,
la 1 del punto a. è falsa, in quanto in \(\left[ 0;4 \right]\) la funzione è continua ma non pare derivabile nel punto interno \(x=1\); è falsa anche la 2, in quanto la non sussistenza delle ipotesi del teorema di Lagrange non implica l’impossibilità che si realizzi la tesi (nel caso specifico, vi è infatti un punto, prossimo a \(x=4\), in cui la retta tangente ha pendenza pari a quella della corda, cioè \(-1\)). La 3, per quanto detto, è vera, mentre la 4 è falsa: infatti, per la derivabilità della funzione integrale in un dato punto \(x\) è sufficiente la continuità in \(x\) della funzione integranda. Infine la 5 è vera: in \(x=1\) si ha un minimo relativo, se pur non regolare (cioè a derivata nulla), e poco oltre si ha un massimo.
Per determinare le costanti \(a\) e \(b\) è sufficiente imporre \(h\left( 0 \right)=4\), da cui \(a=4\) e \(h\left( 1 \right)=\frac{3}{2}\), quindi \(k\left( 1 \right)=h\left( 1 \right)=\frac{3}{2}\), da cui \(b=1\).
Infine, le aree delle tre regioni delimitate dai grafici di \(h(x)\) e \(k(x)\) nell’intervallo \(\left[ 0;4 \right]\) si possono calcolare tramite i seguenti integrali definiti: \[{{R}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( h\left( x \right)-k\left( x \right) \right)}\,dx\]\[{{R}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{k\left( x \right)}\,dx+\int\limits_{1}^{4}{h\left( x \right)}\,dx\]\[{{R}_{3}}=\int\limits_{1}^{4}{\left( k\left( x \right)-h\left( x \right) \right)}\,dx\] cioè: \[{{R}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{-x+4}{x+1}+\frac{1}{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{4}x-1 \right)}\,dx=\left[ 5\ln \left| x+1 \right|+\frac{1}{12}{{x}^{3}}-\frac{3}{8}{{x}^{2}}-2x \right]_{0}^{1}=5\ln 2-\frac{55}{24}\approx 1,174\]\[{{R}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( -\frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{3}{4}x+1 \right)}\,dx+\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{-x+4}{x+1} \right)}\,dx=\left[ -\frac{1}{12}{{x}^{3}}+\frac{3}{8}{{x}^{2}}+2x \right]_{0}^{1}+\left[ 5\ln \left| x+1 \right|-x \right]_{1}^{4}=\]\[=\frac{31}{24}+5\ln \frac{5}{2}-3=5\ln \frac{5}{2}-\frac{41}{24}\approx 2,873\] \[{{R}_{3}}=\int\limits_{1}^{4}{\left( -\frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{3}{4}x+1-\frac{-x+4}{x+1}+ \right)}\,dx=\left[ -\frac{1}{12}{{x}^{3}}+\frac{3}{8}{{x}^{2}}+2x-5\ln \left| x+1 \right| \right]_{1}^{4}=\frac{51}{8}-5\ln \frac{5}{2}\approx 1,793\quad .\]
Massimo Bergamini
