Ricevo da Domenica il seguente quesito:
Dimostra, utilizzando il teorema di Lagrange, che
\[\frac{1}{t+1}<\ln \frac{t+1}{t}<\frac{1}{t}\quad \forall t>0\quad .\]
Ricevo da Domenica la seguente domanda:Gentilissimo professore, ho questo problema:Dimostra, utilizzando il teorema di Lagrange, che \[\frac{1}{t+1}<\ln \frac{t+1}{t}<\frac{1}{t}\quad \forall t>0\quad .\]Grazie.Le rispondo così:Cara Domenica,consideriamo un qualsiasi intervallo del tipo \(\left[ t,t+1 \right]\), con \(t>0\): in tale intervallo la funzione \(\ln t\) è definita, continua e derivabile, con derivata \(\frac{1}{t}\), per cui possiamo applicare ad essa il teorema di Lagrange, da cui discende l’esistenza di almeno un valore \(\bar{t}\) tale che: \[t<\bar{t}<t+1\quad \wedge \quad \frac{1}{{\bar{t}}}=\frac{\ln \left( t+1 \right)-\ln t}{t+1-t}=\ln \frac{t+1}{t}\quad .\]Poiché, se \(t>0\): \[t<\bar{t}<t+1\to \frac{1}{t+1}<\frac{1}{{\bar{t}}}<\frac{1}{t}\] sostituendo \(\ln \frac{t+1}{t}\) a \(\frac{1}{{\bar{t}}}\) ne consegue la tesi: \[\forall t>0:\quad \frac{1}{t+1}<\ln \frac{t+1}{t}<\frac{1}{t}\quad .\]Massimo Bergamini
