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Sfere e piani

Ricevo da Raluca il seguente problema di geometria analitica dello spazio: Sono dati i punti \(A(-2;-2;1)\), \(B(1;3;4)\), \(C(2;1;-6)\) e la superficie sferica di equazione: \(x^2+y^2+z^2-4x+8y-2z-83=0\). a. Determina l'equazione del piano \(\alpha\) passante per i punti \(A\), \(B\) e \(C\)e verifica che é secante la superficie sferica data. b. Calcola l’area della minore fra le due calotte sferiche staccate dal piano \(\alpha\). c. Trova l’intersezione fra il piano \(\alpha\) e il piano coordinato \(Oyz\).
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Ricevo da Raluca la seguente domanda:   Caro professore, ho difficoltà col seguente problema (n.11, pag.1128, Matematica.blu 2.0):   Sono dati i punti \(A(-2;-2;1)\), \(B(1;3;4)\), \(C(2;1;-6)\) e la superficie sferica di equazione: \(x^2+y^2+z^2-4x+8y-2z-83=0\). a. Determina l'equazione del piano \(\alpha\) passante per i punti \(A\), \(B\) e \(C\)e  verifica che é secante la superficie sferica data. b. Calcola l’area della minore fra le due calotte sferiche staccate dal piano \(\alpha\). c. Trova l’intersezione fra il piano \(\alpha\) e il piano coordinato \(Oyz\).   Grazie.   Le rispondo così:   Cara Raluca, ricaviamo l’equazione del piano risolvendo il seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{lll} -2a-2b+c+d=0  \\ a+3b+4c+d=0 \\ 2a+b-6c+d=0 \end{array} \right.\] da cui, essendo \(d\ne 0\): \[\alpha :4dx-3dy+dz+d=0\to \alpha :4x-3y+z+1=0\quad .\] Poichè, ricostruendo i quadrati di binomi, possiamo riscrivere l’equazione della sfera in questo modo: \[{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=104\] deduciamo che il centro della sfera si trova nel punto \(O(2;-4;1)\) e che il suo raggio è \(r=2\sqrt{26}\); essendo la distanza di \(O\) dal piano \(\alpha\) \[\frac{\left| 8+12+1+1 \right|}{\sqrt{26}}=\frac{11\sqrt{26}}{13}<2\sqrt{26}\] risulta verificato che il piano \(\alpha\) è secante la sfera. La calotta sferica minore determinata sulla sfera dall’intersezione col piano \(\alpha\) ha un’altezza \(h=2\sqrt{26}-\frac{11}{13}\sqrt{26}=\frac{15}{13}\sqrt{26}\), per cui la sua superficie \(S\) è data da: \[S=2\pi hr=2\pi \cdot \frac{15}{13}\sqrt{26}\cdot 2\sqrt{26}=120\pi \quad .\] La retta risultante dall’intersezione tra il piano \(\alpha\) e il piano \(Oyz\) ha equazione: \[\left\{ \begin{array}{ll} x=0  \\ 3y-z-1=0 \end{array} \right. \quad .\] Massimo Bergamini
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