Tempo di svuotamento

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

 

Caro professore,

un aiuto:

 

Un cono circolare retto con una altezza di 12 pollici e un raggio di base di 3 pollici è riempito con acqua e sospeso con il vertice rivolto verso il basso. L’acqua esce da un foro praticato nel vertice ad un ritmo in pollici cubici al secondo numericamente uguale all’altezza dell’acqua nel cono. Determina il tempo necessario affinchè tutta l’acqua esca dal cono.

 

Grazie.

 

Gli rispondo così:

 

Caro Ettore,figura1146

costruiamo un modello differenziale del problema. Assumiamo l’altezza in pollici \(h(t)\) dell’acqua nel cono come la funzione del tempo \(t\) (in secondi) che rappresenta l’incognita dell’equazione differenziale che descrive il problema. Poiché per similitudine possiamo dire che in ogni istante il raggio \(r(t)\) della base del cono occupato effettivamente dall’acqua è \(1/4\) dell’altezza \(h(t)\), si ha che all’istante \(t\) il volume è dato dall’espressione \[V\left( t \right)=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi }{48}{{h}^{3}}\left( t \right)\quad .\] L’ipotesi che l’acqua esca ad un ritmo in pollici cubici al secondo numericamente uguale all’altezza dell’acqua nel cono, si traduce nell’ipotesi che la derivata di \(V(t)\) sia pari a \(-h(t)\), da cui l’equazione differenziale a variabili separabili: \[\frac{\pi }{16}{{h}^{2}}h’=-h\to \pi hdh=-16dt\] che, integrando entrambi i membri, porta alla soluzione generale:  \[\pi \int{h\,dh}=-16\int{dt}\to \frac{\pi }{2}{{h}^{2}}=c-16t\to h\left( t \right)=\sqrt{\frac{2c-32t}{\pi }}\]da cui, data la condizione \(h(0)=12\), si ricava la legge oraria: \[h\left( t \right)=\sqrt{144-\frac{32t}{\pi }}\] che, ponendo \(h(t)=0\), fornisce il tempo di svuotamento: \[t=\frac{9}{2}\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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