a Elisa,
nel primo caso, con riferimento alla figura, osserviamo che, detto \(\alpha\) l’angolo nel vertice \(A\), si ha \(BC=4\tan\alpha\), e che il solido ottenuto dalla rotazione è un tronco di cono di raggi \(AE=7\;cm\), \(CF=3\;cm\) e altezza \(4\tan\alpha\;cm\) privato del cilindro di raggio \(CF=3\;cm\) e altezza \(4\tan\alpha\;cm\), per cui si ha: \[\frac{4}{3}\pi \tan \alpha \left( 9+21+49-27 \right)=\frac{208}{3}\pi \left( 2-\sqrt{3} \right)\to \]\[\to \tan \alpha =2-\sqrt{3}\to \alpha =15{}^\circ \quad .\]
Nel secondo caso, con riferimento alla figura, si ricava subito che, detto \(AB=L\) il lato della base, si deve avere \(2L^3=3456\), da cui \(L=12\;cm\) e \(AE=24\;cm\), per cui, detto \(V_1\) il volume del prisma \(ABCDJLMN\) e 
\(V_2=3456-V_1\) il volume del prisma complementare \(EFGHJLMN\), si ha pure: \[\frac{3456-{{V}_{1}}}{{{V}_{1}}}=\frac{8-\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}\to {{V}_{1}}=288\left( 4+\sqrt{3} \right)\quad .\] Poiché, posto \(BL=x\), si ha \({{V}_{1}}=144\left( x+4\sqrt{3} \right)\), ne consegue \(x=2\left( 4-\sqrt{3} \right)\,cm\), e da questa misura consegue la possibilità di ricavre le superfici \(S_1\) e \(S_2\) dei due solidi, sommando le aree delle varie facce:
\[{{S}_{1}}=48\left( 11+2\sqrt{3} \right)\,c{{m}^{2}}\]\[{{S}_{2}}=48\left( 19-2\sqrt{3} \right)\,c{{m}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini
