Probabilità

Ricevo da Andrea la seguente domanda: Gentilissimo professore, volevo porle un quesito: Immaginiamo di avere 2 urne di cui la prima con 30 palline nere, la seconda con 10 rosse e 5 bianche. Poniamo che io sia bendato e che quindi non possa sapere da quale urna estraggo. Pertanto che probabilità avrei di estrarre una pallina bianca? Grazie. Gli rispondo così: Caro Andrea, possiamo pensare all’evento \(E=\)“estraggo una pallina bianca” come unione di due eventi disgiunti, ciascuno formato dall’intersezione di due eventi che si condizionano: \(E_1=\)“scelgo la prima urna et estraggo una pallina bianca” o \(E_2=\)“scelgo la seconda urna et estraggo una pallina bianca”: la probabilità \(p(E)\) è quindi data dalla somma di due prodotti, in simboli: \[p\left( E \right)=p\left( {{E}_{1}} \right)+p\left( {{E}_{2}} \right)=p\left( {{U}_{1}} \right)\cdot p\left( B|{{U}_{1}} \right)+p\left( {{U}_{2}} \right)\cdot p\left( B|{{U}_{2}} \right)\] dove \(p(U_1)\) e \(p(U_2)\) indicano rispettivamente la probabilità di scegliere la prima urna e la probabilità di scegliere la seconda urna, mentre \(p\left( B|{{U}_{1}} \right)\) e \(p\left( B|{{U}_{2}} \right)\) indicano rispettivamente le probabilità (condizionate) di estrarre bianca sapendo di estrarre dalla prima urna e di estrarre bianca sapendo di estrarre dalla seconda urna. Supponendo che la scelta dell’urna sia casuale, si ha: \[p\left( {{U}_{1}} \right)=p\left( {{U}_{2}} \right)=\frac{1}{2},\ p\left( B|{{U}_{1}} \right)=0,\ p\left( B|{{U}_{2}} \right)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\to \]\[\to p\left( E \right)=\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\quad .\] Massimo Bergamini

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