con riferimento alla figura, osserviamo che le facce \(AVB\) e \(CVB\) della piramide sono triangoli rettangoli congruenti, col cateto \(VB=\frac{l}{\sqrt{3}}\) in comune, e le ipotenuse \(AV=CV=\frac{2l}{\sqrt{3}}\). Pertanto: \[{{V}_{ABCV}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot VB=\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{4}{{l}^{2}}\cdot \frac{l}{\sqrt{3}}=\frac{1}{12}{{l}^{3}}\] \[{{S}_{ABV}}={{S}_{CBV}}=\frac{\sqrt{3}}{6}{{l}^{2}}\quad {{S}_{ACV}}=\frac{\sqrt{39}}{12}{{l}^{2}}\quad {{S}_{ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{l}^{2}}\to \]\[\to {{S}_{ABCV}}=\frac{\sqrt{3}\left( 7+\sqrt{13} \right)}{12}{{l}^{2}}\quad .\]
Il raggio \(r\) della sfera inscritta nella piramide si può ricavare dalla formula \[r=\frac{3{{V}_{ABCV}}}{{{S}_{ABCV}}}=\frac{3}{12}\frac{12}{\sqrt{3}\left( 7+\sqrt{13} \right)}l=\frac{\sqrt{3}\left( 7-\sqrt{13} \right)}{36}l\quad .\]
Il raggio \(R\) della sfera circoscritta si può ricavare a partire dal centro \(G\) di tale sfera, che si trova all’intersezione dei piani-asse degli spigoli della piramide. Riferendo la piramide ad un sistema di assi \(Oxyz\) in cui sia \(A(0,0,0)\), \(B(0,l,0)\), \(C(0,l/2,\sqrt{3}l/2)\), \(V(\sqrt{3}l/3,l,0)\), si ha che il piano-asse di \(AV\) incontra il piano-asse di \(AB\) nella retta perpendicolare al piano \(xy\) passante per il punto medio di \(AV\), cioè la retta dei punti \(P(\sqrt{3}l/6,l/2,t)\), al variare del parametro reale \(t\). Imponendo che \(P\) equidisti anche, ad esempio, da \(A\) e da \(C\), si ha: \[\frac{1}{12}{{l}^{2}}+\frac{1}{4}{{l}^{2}}+{{t}^{2}}=\frac{1}{12}{{l}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}l-t \right)}^{2}}\to \]\[\to t=\frac{\sqrt{3}}{6}l\to G\left( \frac{\sqrt{3}}{6}l,\frac{1}{2}l,\frac{\sqrt{3}}{6}l \right)\]
e quindi: \[R=GA=\frac{\sqrt{15}}{6}l\quad .\] I volumi delle due sfere si ricavano di conseguenza.
Massimo Bergamini
