Alcuni integrali

Ricevo da Lucia la seguente domanda: Caro professore, incontro difficoltà nello svolgere i seguenti integrali (nn. 570, 574, 575, 576, 579, 585, pag.1993, Matematica.blu 2.0), potrebbe cortesemente aiutarmi? \[\int{\frac{{{\sin }^{4}}x}{{{\cos }^{6}}x}dx}\quad \int{x\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{1+{{e}^{2x}}}dx}\quad \int{\frac{{{e}^{2x}}}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}dx}\] \[\int{\sin 4x\cos 6x\,dx}\quad \int{\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{\sin 2x}dx}\quad \int{{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x\cos 2x\,dx}\quad .\] Grazie. Le rispondo così: Cara Lucia, nel primo caso, osservando che \(D\left( \tan x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\), si ha: \[\int{\frac{{{\sin }^{4}}x}{{{\cos }^{6}}x}dx}=\int{{{\tan }^{4}}x\cdot \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=}\frac{1}{5}{{\tan }^{5}}x+c\quad .\] Nel secondo caso, possiamo riscrivere in modo opportuno la funzione integranda e procedere per parti: \[\int{x\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{1+{{e}^{2x}}}dx}=\int{x\frac{}{{{e}^{x}}}dx=}\int{x{{e}^{-x}}dx=}\]\[=-x{{e}^{-x}}+\int{{{e}^{-x}}dx=}-{{e}^{-x}}\left( x+1 \right)+c\quad .\] Nel terzo caso, possiamo operare la sostituzione \(t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\), da cui: \[dx=\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt\to \int{\frac{{{e}^{2x}}}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}dx}=\int{\frac{{{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{t}\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt=}\]\[=2\int{\left( {{t}^{2}}-1 \right)dt=}\frac{2}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{3}}}-2\sqrt{{{e}^{x}}+1}+c=\frac{2}{3}\left( {{e}^{x}}-2 \right)\sqrt{{{e}^{x}}+1}+c\quad .\] Nel quarto caso, usando l’identità goniometrica \(\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left[ \sin \left( \alpha +\beta \right)+\sin \left( \alpha -\beta \right) \right]\) (formula di Werner), si ha: \[\int{\sin 4x\cos 6x\,dx}=\frac{1}{2}\int{\sin 10x}\,dx-\frac{1}{2}\int{\sin 2x}\,dx=-\frac{\cos 10x}{20}+\frac{\cos 2x}{4}+c\quad .\] Nel quinto caso, usando le dentità goniometriche \(1={{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x\) e \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), si ha: \[\int{\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{\sin 2x}dx}=\int{\frac{2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x}{2\sin x\cos x}dx}=\]\[=\int{\frac{\cos x}{\sin x}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{\sin x}{\cos x}dx}=\ln \left| \sin x \right|-\frac{1}{2}\ln \left| \cos x \right|+c\quad .\] Nell’ultimo caso, osservando che \({{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x=\frac{1}{4}{{\sin }^{2}}2x\), si ha: \[\int{{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x\cos 2x\,dx}=\frac{1}{4}\int{{{\sin }^{2}}2x\cos 2x\,dx}=\]\[=\frac{1}{8}\int{2{{\sin }^{2}}2x\cos 2x\,dx}=\frac{1}{8}\left( \frac{1}{3}{{\sin }^{3}}2x \right)+c=\frac{{{\sin }^{3}}2x}{24}+c\quad .\] Massimo Bergamini

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