Rette nello spazio

Ricevo da Marco la seguente domanda: Gentile professore, le propongo questo problema inerente la geometria analitica nello spazio: Determinare per quale valore del parametro \(h\) risultano incidenti le rette di equazione \[r:\left\{ \begin{array}{ll} x+hz=1 \\ (2h+1)y+z=0 \end{array} \right. \quad\quad s:\left\{ \begin{array}{ll} 2x-hy+z=1 \\ x+3y+(h+1)z=1 \end{array} \right. \quad .\] Grazie. Gli rispondo così: Caro Marco, se esplicitiamo le equazioni della prima retta rispetto ad una delle incognite, ad esempio \(y\), abbiamo: \[r:\left\{ \begin{array}{ll} x=1+h(2h+1)y \\ z=-(2h+1)y \end{array} \right. \] e la condizione di incidenza con la retta \(s\) implica che, sostituendo le precedenti espressioni di \(x\) e \(y\) nelle equazioni di \(s\) queste ammettano una soluzione: \[\left\{ \begin{array}{ll} 2+2h(2h+1)y-hy-(2h+1)y=1 \\ 1+h(2h+1)y+3y-(h+1)(2h+1)y=1 \end{array} \right. \] \[\left\{ \begin{array}{ll} 2+4h^2y+2hy-2hy-hy-y=1 \\ 2h^2y+hy+3y-2h^2y-hy-2hy-y=0 \end{array} \right. \] \[\left\{ \begin{array}{ll} 4h^2y-hy-y+1=0 \\ (1-h)y=0 \end{array} \right. \quad .\] Se \(h\ne 1\), la seconda equazione del sistema è risolta solo per \(y=0\), ma tale valore non risolve la prima, che risulta impossibile: se invece \(h=1\), la seconda è risolta per ogni valore di \(y\), mentre la prima si riduce a \(2y+1=0\), da cui la soluzione accettabile \(y=-\frac{1}{2}\), e di conseguenza \(x=-\frac{1}{2}\) e \(z=\frac{3}{2}\), cioè il solo valore di \(h\) per il quale le due rette si intersecano è \(h=1\), e in tal caso il punto di intersezione è \(\left( -\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{3}{2} \right)\). Massimo Bergamini

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