Tiro al bersaglio

Ricevo da Ettore la seguente domanda: Caro professore, umilmente un aiuto (n.16, pag.\(\sigma\)63, Matematica.blu 2.0): Tre concorrenti tirano contemporaneamente a un bersaglio. Essi hanno probabilità di colpirlo rispettivamente dell'\(80\%\), del \(70\%\) e del \(50\%\). a) Determina la distribuzione di probabilità della variabile casuale relativa al numero di colpi andati a segno. Calcola: b) il valore medio e la deviazione standard della variabile casuale del punto a; c) la probabilità che almeno due colpi vadano a segno. Grazie. Gli rispondo così: Caro Ettore, la variabile casuale \(X\)=”numero di colpi andati a segno” può assumere quattro valori \(x_k=k,\;k=0,1,2,3\), con le probabilità seguenti, dove \(A\), \(B\) e \(C\) indicano il successo nel tiro rispettivamente di ciascuno dei tre concorrenti: \[{{p}_{0}}=p\left( X=0 \right)=p\left( \bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C} \right)=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{100}\]\[{{p}_{1}}=p\left( X=1 \right)=p\left( \left( A\cap \bar{B}\cap \bar{C} \right)\cup \left( \bar{A}\cap B\cap \bar{C} \right)\cup \left( \bar{A}\cap \bar{B}\cap C \right) \right)=\]\[=\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{5}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{22}{100}\] \[{{p}_{2}}=p\left( X=2 \right)=p\left( \left( \bar{A}\cap B\cap C \right)\cup \left( A\cap \bar{B}\cap C \right)\cup \left( A\cap B\cap \bar{C} \right) \right)=\]\[=\frac{1}{5}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{5}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{47}{100}\]\[{{p}_{3}}=p\left( X=3 \right)=p\left( A\cap B\cap C \right)=\frac{4}{5}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{28}{100}\] da cui: \[\mu =M\left( X \right)=\sum\limits_{k=0}^{3}{{{x}_{k}}\cdot {{p}_{k}}}=\frac{22}{100}+\frac{94}{100}+\frac{84}{100}=\frac{200}{100}=2\]\[\sigma \left( X \right)=\sqrt{\sum\limits_{k=0}^{3}{{{\left( {{x}_{k}}-\mu \right)}^{2}}\cdot {{p}_{k}}}}=\sqrt{\frac{12}{100}+\frac{22}{100}+\frac{28}{100}}=\sqrt{\frac{62}{100}}=0,787\quad .\] La probabilità \(p\) che almeno due colpi vadano a segno è data da: \[p=p\left( X\ge 2 \right)={{p}_{2}}+{{p}_{3}}=\frac{47}{100}+\frac{28}{100}=\frac{75}{100}\quad .\] Massimo Bergamini

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