detta \(k\) l’ascissa di un generico punto \(P(k;k^2)\) della parabola, l’equazione della retta \(t\) tangente ad essa in \(P\) è data da: \[y=2k\left( x-k \right)+{{k}^{2}}=2kx-{{k}^{2}}\] per cui il punto \(Q\) in cui tale retta interseca l’asse \(y\) ha coordinate \(Q(0;-k^2)\). Le coordinate del simmetrico \(P’\) di \(P\) rispetto a \(Q\) sono: \[\frac{{{x}_{P'}}+k}{2}=0\to {{x}_{P'}}=-k\quad \frac{{{y}_{P'}}+{{k}^{2}}}{2}=-{{k}^{2}}\to {{y}_{P'}}=-3{{k}^{2}}\]
per cui, ricavando \(k=-x\) dalla prima uguaglianza e sostituendola nella seconda, si ricava che il luogo descritto dal punto \(P’\) ha equazione: \[y=-3{{x}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini
