Una curva integrale

Ricevo da Domenica la seguente domanda:

 

Gentile professore,

ho trovato questo quesito tra quelli da voi proposti, mi può aiutare?

 

Per quale valore del parametro reale \(a\) l’equazione differenziale \((x^2+x−2)y′=2x+a\) ammette una curva integrale passante per i punti \((2;\ln 4)\) e \((−3;\ln 4)\)? Scrivi esplicitamente l’espressione di tale curva integrale.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Domenica,

l’equazione in questione è un’equazione del primo ordine di tipo \(y’(x)=f(x)\), infatti, posto che sia \(x\ne 1\wedge  x\ne -2\), si può riscrivere l’equazione in questo modo:        \[y’=\frac{2x+a}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}\] da cui \[y=\int{\frac{2x+a}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}}dx=\int{\frac{2x+1}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}}dx+\left( a-1 \right)\int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}}dx=\]\[=\ln \left| {{x}^{2}}+x-2 \right|+\frac{\left( a-1 \right)}{3}\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right|+c\] e quindi, imponendo che sia \(y(2)=\ln 4\) si ricava \[\ln 4+\frac{\left( a-1 \right)}{3}\ln \frac{1}{4}+c=\ln 4\to c=\frac{\left( a-1 \right)}{3}\ln 4\]e infine, affinchè sia anche \(y(-3)=\ln 4\), si ha: \[\ln 4+\frac{\left( a-1 \right)}{3}\ln 4+\frac{\left( a-1 \right)}{3}\ln 4=\ln 4\to \frac{2\left( a-1 \right)}{3}\ln 4=0\leftrightarrow a=1\quad .\] Ne consegue che la curva integrale cercata è la seguente: \[y=\ln \left| {{x}^{2}}+x-2 \right|\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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