Probabilità

Ricevo da Raffaella la seguente domanda:

 

Buongiorno,

potrebbe spiegarmi come risolvere questo problema?

 

Un’urna contiene \(30\) palline numerate da \(1\) a \(30\). Determina la probabilità che, estraendo consecutivamente tre palline senza rimettere la pallina estratta nell’urna:

a. esse siano numerate con due numeri dispari e un numero pari;

b. almeno una abbia un numero pari.

Rispondi alle due domande precedenti anche nell’ipotesi di rimettere la pallina estratta nell’urna.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Raffaella,

l’evento relativo alla prima domanda si può realizzare in tre modi distinti, a seconda che il numero dispari sia estratto per primo, oppure per secondo, oppure per terzo; ciascuno di questi modi ha la stessa probabilità di verificarsi, essendo questa il prodotto di tre probabilità (condizionate), quindi: \[{{p}_{a}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{15}{29}\cdot \frac{14}{28}+\frac{1}{2}\cdot \frac{15}{29}\cdot \frac{14}{28}+\frac{1}{2}\cdot \frac{14}{29}\cdot \frac{15}{28}=\frac{45}{116}\approx 38,79\%\quad .\]

L’uscita di almeno un numero pari è il complementare dell’evento: “escono tutti numeri dispari”, e pertanto: \[{{p}_{b}}=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{14}{29}\cdot \frac{13}{28}=\frac{103}{116}\approx 88,79\%\quad .\]

Nel caso le palline siano rimesse ogni volta nell’urna, le probabilità si ricalcolano in questo modo, essendo ora le probabilità delle singole estrazioni non condizionate dall’esito delle estrazioni precedenti: \[{{p}_{a}}=3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}=37,5\%\]\[{{p}_{b}}=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{7}{8}=87,5\%\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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