Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
Tecnologia
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Podcast
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca
L'esperto di matematica

Limiti e funzioni

Rispondo a Iris in merito ad alcuni problemi riguardanti limiti e studi di funzione.
leggi
Ricevo da Iris la seguente domanda:   Egregio Professore, ho serie difficoltà con alcuni esercizi che si trovano nel libretto "Verso la seconda prova di matematica 2016” (n.2, n.9, n.14, pagg. 4:6):   1) Considera la funzione \(f\) di variabile reale definita, per \(x\ne c\), da \(f\left( x \right)=\frac{\left( x-a \right)\left( x-b \right)}{x-c}\), con \(a\), \(b\) \(c\) parametri reali, \(a\) positivo. a. Determina \(a\), \(b\), \(c\) affinché il grafico di \(f\):
  • abbia un asintoto verticale di equazione \(x=2\);
  • passi per il punto \(A(1;0)\);
  • abbia un asintoto obliquo passante per il punto \(B(0;3)\).
b. Disegna il grafico di \(f\). c. A partire dal grafico di \(f\) disegna il grafico della funzione \(g\) definita da \(g(x)=\frac{1}{f(x)}\) mettendo in evidenza intersezioni con gli assi e asintoti.   2) Un triangolo ha i lati che misurano rispettivamente \(3a\), \(4a\) e \(5a\). Sia \(A\) l’area del triangolo stesso, \(A_1\) l’area del cerchio inscritto e \(A_2\) quella del cerchio circoscritto. Calcola i seguenti limiti: \[a.\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{A}_{1}}}{A}\quad \quad b.\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}}\quad .\]   3) Data nel piano \(Oxy\) la curva \(\gamma\) di equazione \(y=\frac{1}{x^2}\), sia \(O\) un punto di \(\gamma\) di ascissa \(t>0\) e sia \(r\) la retta tangente a \(\gamma\) nel punto \(P\). a. Esprimi in funzione di \(t\) l’area \(S_1\) del triangolo \(OPA\), essendo \(A\) l’intersezione di \(r\) con l’asse \(y\). b. Detta \(n\) la retta per \(P\) perpendicolare a \(r\), esprimi in funzione di \(t\) l’area \(S_2\) del triangolo \(OPB\), essendo \(B\) l’intersezione di \(n\) con l’asse \(x\). c. Calcola il limite \(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\).   Grazie.   Le rispondo così:   Cara Iris, nel primo caso, le condizioni per la determinazione dei parametri portano alle seguenti conclusioni: \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty \to c=2\]\[f\left( 1 \right)=0\to a=1\ \vee \ b=1\]\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-x \right)=2-a-b\to 2-a-b=3\] dove l’ultima condizione consegue dal fatto che l’asintoto obliquo ha necessariamente coefficiente angolare \(m=1\); posto che sia \(a=1\), si ottiene \(b=-2\), e la funzione risulta così determinata: \[f\left( x \right)=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}{x-2}\quad .\] La funzione reciproca \(g(x)=\frac{1}{f(x)}\) presenta asintoti verticali in corrispondenza agli zeri di \(f(x)\) e viceversa, ed è crescente laddove \(f(x)\) è decrescente e viceversa; agli infiniti, poiché \(f(x)\) tende all’infinito, \(g(x)\) tende a \(0\). Nel secondo caso, osservando che il triangolo è necessariamente rettangolo (terna pitagorica), con ipotenusa \(5a\), si ha \(A=6a^2\), e ricordando che il raggio \(r\) della circonferenza inscritta in un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra area e semiperimetro, mentre il raggio \(R\) della circonferenza circoscritta ad un triangolo rettangolo è pari alla metà dell’ipotenusa (il centro è il punto medio dell’ipotenusa), si ha: \[r=\frac{6{{a}^{2}}}{6a}\to {{A}_{1}}=\pi {{a}^{2}}\quad R=\frac{5}{2}a\to {{A}_{2}}=\frac{25}{4}\pi {{a}^{2}}\] per cui: \[\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{A}_{1}}}{A}=\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}\quad \underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}}=\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\quad .\] Nel terzo caso, posto che \(P(t,\frac{1}{{{t}^{2}}})\) sia un generico punto della curva \(\gamma\), ricaviamo la retta tangente \(r\) in \(P\) osservando che \(y’=-\frac{2}{x^3}\), per cui: \[r:y=-\frac{2}{{{t}^{3}}}\left( x-t \right)+\frac{1}{{{t}^{2}}}=-\frac{2}{{{t}^{3}}}x+\frac{3}{{{t}^{2}}}\] mentre la retta normale \(n\) in \(P\) ha equazione \[n:y=\frac{{{t}^{3}}}{2}\left( x-t \right)+\frac{1}{{{t}^{2}}}=\frac{{{t}^{3}}}{2}x-\frac{{{t}^{6}}-2}{2{{t}^{2}}}\quad .\] Si ricavano quindi le coordinate di \(A\) e \(B\) in funzione di \(t\): \[A\left( 0;\frac{3}{{{t}^{2}}} \right)\quad B\left( \frac{{{t}^{6}}-2}{{{t}^{5}}};0 \right)\]e da queste le aree dei triangoli \(OPA\) e \(OPB\): \[{{S}_{1}}=\frac{1}{2}\overline{OA}\cdot {{x}_{P}}=\frac{3}{2t}\quad {{S}_{2}}=\frac{1}{2}\overline{OB}\cdot {{y}_{P}}=\frac{{{t}^{6}}-2}{2{{t}^{7}}}\quad .\] In conclusione: \[\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{t}^{6}}}{{{t}^{6}}-2}=3\quad .\]
figura1179
figura1180

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento