Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
sono in difficoltà con i seguenti esercizi (pag.1391, n.273 e n.274, Matematica.blu 2.0.):
Fra le seguenti funzioni, indica quali sono pari, quali dispari e quali né pari né dispari, motivando la risposta.
\[y=\ln \left| x \right|+1\quad \quad y=\sin \left( x-\frac{\pi }{2} \right)\quad \quad y=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{x}\] \[y=\left| \cos x \right|\quad \quad y={{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}-1\quad \quad y=\frac{\left| x \right|+{{x}^{2}}}{2x}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
premesso che:
condizione necessaria (non sufficiente) affinchè una funziona possa dirsi o pari o dispari è che il suo dominio sia un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) simmetrico rispetto a \(x=0\), e che una funzione si dice pari se per ogni \(x\) del suo dominio si ha \(f(-x)=f(x)\), dispari se per ogni \(x\) del suo dominio si ha \(f(-x)=-f(x)\), e che tali proprietà implicano una simmetria del grafico di \(f(x)\) rispetto all’asse \(y\) nel caso della parità, rispetto all’origine \((0;0)\) nel caso della disparità,
nei primi due casi e nel quarto abbiamo funzioni pari, poiché: \[\ln \left| -x \right|+1=\ln \left| x \right|+1\ \forall x\ne 0\] \[\sin \left( x-\frac{\pi }{2} \right)=-\cos x\to -\cos x=-\cos \left( -x \right)\ \forall x\in \mathbb{R}\] \[\left| \cos \left( -x \right) \right|=\left| \cos x \right|\ \forall x\in \mathbb{R}\quad .\]
Negli altri casi abbiamo funzioni dispari: \[\frac{{{e}^{-x}}+{{e}^{x}}}{-x}=-\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{x}\ \forall x\ne 0\]\[{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}-1=-\sin \left( 2x \right)\to -\sin \left( -2x \right)=\sin \left( 2x \right)\ \forall x\in \mathbb{R}\]\[\frac{\left| -x \right|+{{\left( -x \right)}^{2}}}{2\left( -x \right)}=-\frac{\left| x \right|+{{x}^{2}}}{2x}\ \forall x\ne 0\quad .\]
Massimo Bergamini