Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
ho serie difficoltà con i seguenti problemi (pag.1397, n.325 e n.330, Matematica.blu 2.0.):
1) a) Date le funzioni \(f\left( x \right)=\left| x+3 \right|-5\), \(g(x)=x-2\) e \(h(x)=x^2+2x\), trova \(f\circ g\), \(g\circ h\), \(f\circ h\), \(g\circ g\).
b) Determina \(\left( f\circ h \right)\circ g\).
c) Risolvi la disequazione \(f\left( g\left( x \right) \right)>2g\left( x \right)\).
2) Supponi che \(f\) sia una funzione che a ogni numero reale \(x\) associa un valore \(f(x)\) e supponi che l’equazione
\[f\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}} \right)=f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+f\left( {{x}_{4}} \right)+f\left( {{x}_{5}} \right)-8\]
Sia soddisfatta da tutti i numeri reali \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}},{{x}_{5}}\). Quanto vale \(f(0)\)?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso, verificato che le condizioni di componibilità sono soddisfatte in ciascuno dei casi richiesti, si ha, al punto a): \[\left( f\circ g \right)\left( x \right)=\left| \left( x-2 \right)+3 \right|-5=\left| x+1 \right|-5\] \[\left( g\circ h \right)\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-2\] \[\left( f \circ h \right)\left( x \right)=\left| \left( {{x}^{2}}+2x \right)+3 \right|-5=\left| {{x}^{2}}+2x+3 \right|-5\] \[\left( g\circ g \right)\left( x \right)=\left( x-2 \right)-2=x-4\quad .\]
Al punto b): \[\left( \left( f\circ h \right)\circ g \right)\left( x \right)=\left| {{\left( x-2 \right)}^{2}}+2\left( x-2 \right)+3 \right|-5=\left| {{x}^{2}}-2x+3 \right|-5\quad .\]
Al punto c): \[\left| x+1 \right|-5>2\left( x-2 \right)\to ...\left\{ x<-1 \right\}\cup \left\{ -1\le x<0 \right\}=\left\{ x<0 \right\}\quad .\]
Nel secondo caso, poichè l’uguaglianza deve valere per qualunque \(x\) reale, sarà vera anche in particolare per \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}={{x}_{3}}={{x}_{4}}={{x}_{5}}=0\] da cui, per l’ipotesi, discende che: \[f\left( 0 \right)=5f\left( 0 \right)-8\to 4f\left( 0 \right)=8\to f\left( 0 \right)=2\quad .\]
Massimo Bergamini
