viene innanzitutto operare una traslazione di vettore \(\vec{v}\left( -3;-5 \right)\) in modo che le equazioni dei luoghi coinvolti nel problema si semplifichino notevolmente: questo ovviamente non modifica le conclusioni del problema stesso. L’ellisse canonica ottenuta, i corrispondenti punti \(A’\) e \(B’\) che definiscono l’arco di interesse nonché la retta \(OB’\) hanno le seguenti equazioni: \[\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1\quad \quad A'\left( 3;0 \right),B'\left( 1;\frac{10\sqrt{2}}{3} \right)\quad \quad 10\sqrt{2}x-3y=0\quad .\] Il generico punto \(P\) del minore degli archi \(A'B'\) è definito dalla sua ascissa \(x\), con \(1<x<3\), come \(P\left( x;\frac{5}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}} \right)\), per cui la distanza \(PK\) di \(P\) dall’asse delle \(x\) (cioè il traslato dell’asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse..) è semplicemente l’ordinata di \(P\), mentre la distanza \(PH\) di \(P\) dalla retta \(OB’\) è data da \[PH=\frac{5\left( 2\sqrt{2}x-\sqrt{9-{{x}^{2}}} \right)}{3\sqrt{209}}\] dove la positività dell’espressione in parentesi nei limiti posti dal problema ha reso superfluo l’uso del valore assoluto. Pertanto: \[\frac{PH}{PK}=\frac{h}{\sqrt{209}}\to 3\left( 2\sqrt{2}x-\sqrt{9-{{x}^{2}}} \right)=h\sqrt{9-{{x}^{2}}}\to \]\[\to {{\left( 3+h \right)}^{2}}\left( 9-{{x}^{2}} \right)=72{{x}^{2}}\quad .\] Poniamo \((3+h)^2=k\), e introduciamo \(y=x^2\): l’equazione risulta pertanto equivalente al sistema L'espressione \[\left\{ \begin{array}{ll} y=x^2 \\ y=\frac{9k}{72+k}\end{array} \right.\] cioè all’intersezione tra un arco della parabola \(y=x^2\), compreso tra gli estremi \(R(1;1)\) e \(S(3;9)\) (estremi esclusi), e il fascio di rette parallele all’asse \(x\) di equazione \(y=\frac{9k}{72+k}\): l’intersezione è una e una sola per ogni \(k\) compreso tra \(9\) (intersezione con \(R\)) e \(+\infty\) (intersezione limite con \(S\)), cioè, in termini di \(h\), il problema ammette una soluzione per \[{{\left( 3+h \right)}^{2}}>9\to 3+h>3\to h>0\quad .\]
Nel secondo caso, determinata la retta tangente \(t\) di equazione \(y=-x-3\), possiamo individuare le parallele a \(t\) che intersecano la circonferenza come \(y=-x+q\), con \(-3\le q\le 5\). Osserviamo che i lati \(MM’\) e \(NN’\) del rettangolo in questione sono congruenti alla distanza tra \(t\) e la parallela \(MN\), cioè \[MM'=NN'=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( q+3 \right)\quad .\] Per determinare l’altra coppia di lati mettiamo a sistema la retta \(y=-x+q\) con l’equazione della circonferenza, ottenendo l’equazione \(2x^2:+2(7-q)x+q^2-8q+17=0\), da cui: \[{{x}_{M}},{{x}_{N}}=\frac{q-7\pm \sqrt{-{{q}^{2}}+2q+15}}{2}\quad {{y}_{M}},{{y}_{N}}=\frac{q+7\pm \sqrt{-{{q}^{2}}+2q+15}}{2}\] cioè: \[MN=M'N'=\sqrt{2}\sqrt{-{{q}^{2}}+2q+15}\quad .\] L’equazione che c
orrisponde alla richiesta del problema assume quindi la seguente forma: \[\sqrt{-{{q}^{2}}+2q+15}-q-3+2m\] che possiamo discutere per via grafica nel piano \(qy\) come il sistema \[\left\{ \begin{array}{ll} y=\sqrt{-{{q}^{2}}+2q+15} \\ y=-q-3+2m \end{array} \right.\] cioè: \[\left\{ \begin{array}{lll} y^2+4(q-1)^2=64 \\ y=-q-3+2m \\ y\ge 0 \end{array} \right.\] che corrisponde all’intersezione tra un arco di ellisse traslata e un fascio improprio di rette: imponendo il passaggio della retta \(y=-q-3+2m\) del fascio per gli estremi \(A(-3;0)\) e \(B(5,0)\), e determinata la retta tangente all’arco nel punto \(T\), si conclude che il problema ammette una soluzione per \(0\le m < 4\), due soluzioni per \(4\le m\le 2+2\sqrt{5}\).
Massimo Bergamini
