Matrici e metodo di Gauss

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Caro professore,

la prego, mi aiuti a risolvere questi quesiti:

 

1) Risolvere il seguente sistema con il metodo di Gauss:

\[\left\{ \begin{array}{lll} x_1+2x_2-3x_3=6 \\ -x_1-3x_2+7x_3=-2 \\ 2x_1+5x_2-10x_3=8 \end{array} \right.\quad .\]

 

2) Trovare il rango della seguente matrice: \[\left| \begin{matrix} 5 & 3 & 7  \\ -10 & 2 & 3  \\    5 & -1 & 2  \\ \end{matrix} \right|\quad .\]

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Elisa,

data la matrice completa del sistema lineare: \[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -3 & -6  \\   -1 & -3 & 7 & 2  \\   2 & 5 & -10 & -8  \\ \end{matrix} \right|\] procediamo con le “mosse” elementari del metodo di eliminazione di Gauss (scambio di righe, moltiplicazione di una riga per un coefficiente non nullo, sostituzione di una riga con quella ottenuta somma ad essa un multiplo di un’altra) per ottenere una matrice triangolare superiore (cioè con tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale nulli). Sostituendo alla seconda riga la somma delle prime due e alla terza la somma di questa con quella ottenuta moltiplicando la prima per \(-2\) si ha:

\[\left| \begin{matrix}  1 & 2 & -3 & -6  \\   0 & -1 & 4 & -4  \\ 0 & 1 & -4 & 4  \\ \end{matrix} \right|\] e quindi, sostituendo all’ultima riga la somma di questa con la seconda, si ha:

\[\left| \begin{matrix}   1 & 2 & -3 & -6  \\   0 & -1 & 4 & -4  \\  0 & 0 & 0 & 0  \\ \end{matrix} \right|\quad .\]

Il fatto che l’ultima riga sia nulla comporta che il sistema sia indeterminato e riducibile alla seguente coppia di equazioni, che ne rappresenta le infinite soluzioni, dipendenti dai valori arbitrari che possiamo assegnare a una delle incognite, \(x_3\) nella nostra scelta: \[\left\{ \begin{array}{ll} x_1=-5x_3+14 \\ x_2=4x_3-4 \end{array} \right.\quad .\]

Anche la determinazione del rango della matrice quadrata del secondo quesito può essere determinato col metodo di eliminazione di Gauss. Se procediamo come in precedenza, sostituendo alla seconda riga la somma col doppio della prima e alla terza la somma con l’opposto della prima, e nella matrice ottenuta scambiamo la seconda e la terza riga e poi sostituiamo la terza con la somma di questa col doppio della seconda, otteniamo: \[\left| \begin{matrix}   5 & 3 & 7  \\ 0 & 8 & 17  \\   0 & 0 & 7  \\ \end{matrix} \right|\] la quale, avendo \(3\) elementi “pivot” (i primi elementi non nulli di una riga) non nulli, ha rango \(3\). A questa conclusione si poteva pervenire anche osservando che il determinante della matrice \(3\times 3\) stessa è \(140\ne 0\).

Massimo Bergamini

Per la lezione

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