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Una funzione e un infinitesimo

Due quesiti di analisi infinitesimale proposti da Elisa: 1) Studiare la seguente funzione: \[y=\frac{1}{{{e}^{4x-3}}+2x}\quad .\] 2) Determinare l’infinitesimo campione equivalente all’infinitesimo \[f\left( x \right)=\tan \left( 2x \right){{\ln }^{2}}\left( 1+2x \right)\] per \(x\to 0\).
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Ricevo da Elisa la seguente domanda:   Caro professore, la prego, mi aiuti a risolvere questi quesiti:   1) Studiare la seguente funzione: \[y=\frac{1}{{{e}^{4x-3}}+2x}\quad .\] 2) Determinare l’infinitesimo campione equivalente all’infinitesimo \[f\left( x \right)=\tan \left( 2x \right){{\ln }^{2}}\left( 1+2x \right)\] per \(x\to 0\).   Grazie.   Le rispondo così:   Cara Elisa, la funzione del primo quesito è definita e continua in \(\mathbb{R}-\left\{ {{x}_{0}} \right\}\), essendo \(x_0\approx -0,023\) l’unica soluzione, determinabile solo con metodi di calcolo numerico, dell’equazione \({{e}^{4x-3}}+2x=0\): che tale soluzione sia unica discende dal fatto che la funzione \({{e}^{4x-3}}+2x\), avendo derivata sempre positiva, è monotona crescente e assume valori compresi tra \(-\infty\) e \(+\infty\), essendo \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{4x-3}}+2x \right)=\pm \infty \quad .\] Da questo, e dal fatto che \({{e}^{4x-3}}<-2x\) per \(x<x_0\), \({{e}^{4x-3}}>-2x\) per \(x>x_0\), discende: \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\quad \underset{x\to {{x}_{0}}^{\pm }}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \quad .\] La derivata della funzione \[y'=-\frac{2\left( 2{{e}^{4x-3}}+1 \right)}{{{\left( {{e}^{4x-3}}+2x \right)}^{2}}}\] è negativa per ogni \(x\) nel dominio, per cui la funzione è monotona decrescente in ciascuno dei due sottoinsiemi connessi del suo dominio. Riguardo all’infinitesimo, poiché nel limite \(x\to 0\) si ha           \[\tan x\sim x\quad \quad \ln \left( 1+x \right)\sim x\] possiamo dire che \[\tan \left( 2x \right){{\ln }^{2}}\left( 1+2x \right)\sim 8{{x}^{3}}\]essendo infatti: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan \left( 2x \right){{\ln }^{2}}\left( 1+2x \right)}{8{{x}^{3}}}=1\quad .\] Massimo Bergamini
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