Nel primo caso, la progressione delle lunghezze dei segmenti si ottiene dal teorema di Pitagora: \[{{l}_{n}}=2\sqrt{1-{{\left( 1-\frac{1}{{{2}^{n}}} \right)}^{2}}}=\frac{2}{{{2}^{n}}}\sqrt{{{2}^{n+1}}-1}\] pertanto la somma \(S\) richiesta è stimabile per eccesso utlizzando la progressione geometrica che si ottiene trascurando l’unità sotto radice: \[S=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{\sqrt{{{2}^{n+1}}-1}}{{{2}^{n-1}}}}<\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{\sqrt{{{2}^{n+1}}}}{{{2}^{n-1}}}}=2\sqrt{2}\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{n}}}=\frac{2\sqrt{2}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=4\left( \sqrt{2}+1 \right)\quad .\]
Nel secondo caso, le progressioni geometriche dei perimetri dei quadrati inscritti e circoscritti sono rispettivamente le seguenti: \[{{p}_{n}}=4\sqrt{2}{{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{n}}\quad \quad {{P}_{n}}=8{{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{n}}\] pertanto: \[s=4\sqrt{2}\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{n}}=\frac{4\sqrt{2}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=}2\sqrt{2}\left( 3+\sqrt{3} \right)\]\[S=8\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{n}}=}4\left( 3+\sqrt{3} \right)\quad .\]
Nell’ultimo caso, posto che il tempo impiegato da un corpo per cadere da 
un’altezza \(h\) (o per risalire fino ad un’altezza \(h\)) è pari a \(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\) , nel caso in esame si ha un
tempo totale \(T\) pari a: \[T=\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\sqrt{\frac{2\left( h/{{2}^{n+1}} \right)}{g}}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sqrt{\frac{h}{g}}{{\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}}^{n}}=\] \[=\sqrt{\frac{2h}{g}}\left( 3+2\sqrt{2} \right)\quad .\]
Massimo Bergamini
