Funzione a due variabili

Ricevo da Maristella la seguente domanda: Trovare l'insieme di definizione e determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo assoluti della funzione \[f(x,y)=(-xy-3x-y+3)^6\quad .\] Determinare poi i punti di max e/o min assoluti e relativi di \(f\) sull'insieme \(E=\left\{ x\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:x-y=2 \right\}\). Grazie. Le rispondo così: Cara Maristella, la funzione in questione è un polinomio in due variabili, e pertanto è definita su tutto \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\) e non ammette massimo assoluto (se, ad esempio, si pone \(y=-x\) si ha una funzione che tende a \(+\infty\) per \(x\to +\infty\)); poiché si presenta nella forma di una potenza pari di un polinomio \(f(x,y)\) non è mai negativa e pertanto i punti di minimo assoluto sono gli eventuali punti che risolvono l’equazione \(f(x,y)=0\), cioè: \[xy-3x-y+3=0\to y=\frac{-3x+3}{x+1}\] e il luogo di tali punti è quindi l’iperbole equilatera di centro \(C(-1;3)\) avente gli asintoti paralleli agli assi coordinati. Si può verificare che nel punto \(C(-1;3)\) si annullano entrambe le derivate parziali della funzione, ma \(C\) non è né un max né un min relativo per la funzione, in quanto la matrice hessiana delle derivate parziali seconde calcolate nel punto \(C\) ha determinante negativo e quindi \(C\) è un punto di sella. Se restringiamo il dominio di \(f(x,y)\) all’insieme \(E=\left\{ x\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:x-y=2 \right\}\), otteniamo la funzione \[F\left( x \right)={{\left( -{{x}^{2}}-2x+5 \right)}^{6}}\] nella sola variabile \(x\), che non ammette massimo assoluto ma ammette due punti di minimo relativo e assoluto e un punto di massimo relativo, come si evince dallo studio degli zeri e del segno della derivata prima: \[F'\left( x \right)=12\left( x+1 \right){{\left( {{x}^{2}}+2x-5 \right)}^{5}}\to F'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=-1\vee x=-1\pm \sqrt{6}\] da cui concludiamo che \((-1;-3)\) è un punto di massimo relativo per \(F(x)\), di valore \(6^6\), mentre i punti \((-1\pm \sqrt{6},-3\pm \sqrt{6})\) sono minimi relativi e assoluti in cui la funzione \(F(x)\) si annulla. Massimo Bergamini

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