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L'esperto di matematica

Alcuni limiti

Lucia chiede aiuto in merito al calcolo di alcuni limiti con sostituzione di variabile: \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1-\cos \left( 1-x \right)}}{2{{x}^{2}}-x-1}\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,2x\sin \frac{1}{x+2}\] \[\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2x-\pi \right)\cos x}{x\left( 1-\sin x \right)}\quad \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{\cos \left( x-2 \right)}}{{{x}^{2}}-4x+4}\quad .\]
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Ricevo da Lucia la seguente domanda:   Caro professore, ho deĺle difficoltà con alcuni limiti (pag.1528, nn. 310, 313, 314, 322, Matematica.blu 2.0): \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1-\cos \left( 1-x \right)}}{2{{x}^{2}}-x-1}\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,2x\sin \frac{1}{x+2}\] \[\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2x-\pi  \right)\cos x}{x\left( 1-\sin x \right)}\quad \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{\cos \left( x-2 \right)}}{{{x}^{2}}-4x+4}\quad .\] Grazie.   Le rispondo così:   Cara Lucia, nel primo caso poniamo \(x-1=t\), per cui: \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1-\cos \left( 1-x \right)}}{2{{x}^{2}}-x-1}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1-\cos \left( -t \right)}}{t\left( 3+2t \right)}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{1-\cos t}{{{t}^{2}}}}\cdot \frac{1}{\left( 3+2t \right)}=\frac{\sqrt{2}}{6}\quad .\] Nel secondo caso, poniamo \(x+2=\frac{1}{t}\), per cui: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,2x\sin \frac{1}{x+2}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( 1-2t \right)\sin t}{t}=2\quad .\] Nel terzo caso, poniamo \(x-\frac{\pi }{2}=t\), per cui: \[\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2x-\pi  \right)\cos x}{x\left( 1-\sin x \right)}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2t\cos \left( \frac{\pi }{2}+t \right)}{\left( \frac{\pi }{2}+t \right)\left( 1-\sin \left( \frac{\pi }{2}+t \right) \right)}=-\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4t\sin t}{\left( \pi +2t \right)\left( 1-\cos t \right)}=-\frac{8}{\pi }\quad .\] Infine, nel quarto caso, poniamo \(x-2=t\), per cui: \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{\cos \left( x-2 \right)}}{{{x}^{2}}-4x+4}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{\cos t}}{{{t}^{2}}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos t}{\left( 1+\sqrt{\cos t} \right){{t}^{2}}}=\frac{1}{4}\quad .\] Massimo Bergamini

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