si ricava facilmente che \(AC=\sqrt{2}r\) e \(AD=\sqrt{3}r\), per cui la superficie \(S\) è data dalla somma delle superfici laterali di due coni, di apotemi \(\sqrt{2}r\), \(\sqrt{3}r\) e raggi di base \(r\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}r\) rispettivamente, e dalla superficie di una calotta sferica a due basi di altezza \(h=\frac{r}{2}\): \[S=\pi \sqrt{2}{{r}^{2}}+\pi \frac{3}{2}{{r}^{2}}+\pi {{r}^{2}}=\pi \left( \frac{2\sqrt{2}+5}{2} \right){{r}^{2}}\quad .\]
Riguardo al volume, posto che in un riferimento \(Oxy\) avente l’asse \(x\) lungo \(AB\), con origine in \(A\), \(AC\) appartiene alla retta \(y=x\), \(AD\) alla retta \(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\), e l’arco \(CD\) al grafico della funzione \(y=\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\), si ha: \[V=\pi \int\limits_{0}^{r}{{{x}^{2}}dx}+\pi \int\limits_{r}^{3r/2}{\left( 2rx-{{x}^{2}} \right)dx}-\pi \int\limits_{0}^{3r/2}{\frac{1}{3}{{x}^{2}}dx=}\]\[=\pi \left\{ \left[ \frac{1}{3}{{x}^{3}} \right]_{0}^{r}+\left[ r{{x}^{2}}-\frac{1}{3}{{x}^{3}} \right]_{r}^{3r/2}-\left[ \frac{1}{9}{{x}^{3}} \right]_{0}^{3r/2} \right\}=\]\[=\pi \left( \frac{1}{3}{{r}^{3}}+\frac{9}{4}{{r}^{3}}-\frac{9}{8}{{r}^{3}}-{{r}^{3}}+\frac{1}{3}{{r}^{3}}-\frac{3}{8}{{r}^{3}} \right)=\frac{5}{12}\pi {{r}^{3}}=\frac{5}{16}\left( \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}} \right)\] come volevasi dimostrare.
Massimo Bergamini
