la funzione è definita, continua e derivabile nel dominio \(D=\left] 0,+\infty \right[\), si annulla per \(x=1\), è sempre positiva nel resto del dominio. Si hanno i seguenti limiti significativi, il primo dei quali si può calcolare utilizzando due volte il teorema di de l’Hospital: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x{{\ln }^{2}}x=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\ln }^{2}}x}{1/x}=-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\ln x}{1/x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,2x=0\]\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x{{\ln }^{2}}x=\left( +\infty \right)\cdot \left( +\infty \right)=+\infty \quad .\] Calcoliamo la derivata prima e seconda: \[y'={{\ln }^{2}}x+2\ln x=\ln x\left( \ln x+2 \right)\]\[y''=\ln x\left( \ln x+2 \right)=\frac{\ln x+2}{x}+\frac{\ln x}{x}=\frac{2\left( \ln x+1 \right)}{x}\]
da cui, analizzando il segno e gli zeri della derivata prima, si deduce che la funzione è crescente per \(0<x<{{e}^{-2}}\) e per \(x>1\), decrescente per \({{e}^{-2}}<x<1\), con un massimo relativo in \(x={{e}^{-2}}\), di valore \(4{{e}^{-2}}\), e un minimo relativo (e assoluto) in \(x=1\), di valore \(0\). Osservando che la derivata seconda si annulla per \(x={{e}^{-1}}\), essendo prima negativa poi positiva, si deduce che in corrispondenza a tale ascissa si ha un punto di flesso obliquo per il grafico della funzione.
Massimo Bergamini
