Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
non riesco a risolvere questa disequazione: \[\frac{\cos x+\frac{1}{\tan x}}{\tan x}\ge -1\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
posto che si deve avere \(x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\), affinchè esista \(\tan x\) e sia \(\tan x\ne 0\), la disequazione risulta equivalente alla seguente: \[\frac{\sin x+1+{{\tan }^{2}}x}{{{\tan }^{2}}x}\ge 0\to \sin x+1+{{\tan }^{2}}x\ge 0\] e poiché si ha \(\sin x+1\ge 0\) e \({{\tan }^{2}}x\ge 0\) per ogni \(x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\), la disequazione è risolta da ogni \(x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\).
Massimo Bergamini
