Uno studio di funzione

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Professore,

la prego di aiutarmi a fare lo studio della seguente funzione: \[f\left( x \right)=\arcsin \left( \frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-1} \right)\] partendo dallo studio di \(y=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-1}\).

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Elisa,

osserviamo innanzitutto che, essendo funzione dispari di argomento dispari, la funzione in questione è dispari, cioè il suo grafico è simmetrico centralmente rispetto all’origine. Il figura1243domino è dato dai valori di \(x\) che soddisfano la seguente disequazione: \[-1\le \frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-1}\le 1\quad .\] Poiché la funzione \(y=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-1}\), con derivata \(y’=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-3 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\), presenta, in corrispondenza a \(x=-\sqrt{3}\) e \(x=+\sqrt{3}\), un massimo relativo e un minimo relativo di valori rispettivamente \(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\) e \(+\frac{3\sqrt{3}}{2}\), mentre risulta monotona decrescente da \(+\infty\) a \(-\infty\) all’interno dell’intervallo \(\left[ -1,1 \right]\), si dedcue che il dominio della funzione \(f(x)\) sia dato dall’intervallo \(\left[ -\bar{x},\bar{x} \right]\), essendo \(\bar{x}\approx 0,7548\) l’unica soluzione reale dell’equazione \(\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-1}=-1\). L’andamento della funzione \(f(x)\) nel dominio \(D=\left[ -0,7548;0,7548 \right]\) è quindi analogo a quello della funzione \(y=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-1}\) nello stesso intervallo, compreso il flesso orizzontale nell’origine: le derivate prima e  seconda della funzione \(f(x)\): \[f’\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-3 \right)}{\sqrt{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( -{{x}^{6}}+{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right)}}\]\[f”\left( x \right)=\frac{x\left( {{x}^{10}}-8{{x}^{8}}+5{{x}^{6}}+2{{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+6 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{3/2}}{{\left( -{{x}^{6}}+{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right)}^{3/2}}}\] si annullano entrambe, nel dominio \(D\), solamente per \(x=0\).

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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