Ricevo da Domenica la seguente domanda:
Gentile professore,
ho questo quesito da risolvere:
Quanti sono i punti aventi coordinate intere appartenenti all'iperbole di equazione \(x^2 - y^2 = 2000^2\)?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Domenica,
poiché \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\) e \(2000^2=2^8\cdot 5^6\), si tratta di trovare tutte le coppie \((x,y)\) di interi tali che \(x+y=a\) e \(x-y=b\), essendo \(a\) e \(b\) divisori di \(2000^2\), cioè \(a\cdot b=2000^2\). Poiché se un punto \((x,y)\) appartiene all’iperbole, anche i tre punti che si ottengono cambiando segno o all’una o all’altra o a entrambe le coordinate appartiene ancora all’iperbole, possiamo limitarci a cercare le sole coppie formate da interi \(x\) e \(y\) positivi: il loro numero andrà poi moltiplicato per \(4\) per ottenere la risposta richiesta. Poiché: \[x=\frac{a+b}{2}\quad y=\frac{a-b}{2}\to a>b\] le possibili coppie di divisori \((a,b)\), con \(a>b\) e con \(a\) e \(b\) o entrambi pari o entrambi dispari (affinchè la loro semisomma e la loro semidifferenza siano interi positivi) sono: \((2^7\cdot 5^6,2)\), \((2^6\cdot 5^6,2^2)\), \((2^5\cdot 5^6,2^3)\), \((2^4\cdot 5^6,2^4)\), \((2^3\cdot 5^6,2^5)\), \((2^2\cdot 5^6,2^6)\), \((2\cdot 5^6,2^7)\), a cui corrispondono le \(28\) coppie di soluzioni: \((\pm 1000001,\pm 999999)\), \((\pm 500002,\pm 499998)\), \((\pm 250004,\pm 249996)\), \((\pm 125008,\pm 124992)\), \((\pm 62516,\pm 62484)\), \((\pm 31282,\pm 31218)\), \((\pm 15689,\pm 15561)\).
Massimo Bergamini
