Ricevo da Patrizia la seguente domanda: Vorrei chiarimenti riguardo al seguente limite (n.493, pag.1534, Matematica.blu 2.0): \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{x+{{x}^{2}}} \right)}^{2x}}\quad .\] Grazie mille. Le rispondo così: Cara Patrizia, si tratta di un limite neperiano, che possiamo ridurre a forma canonica nel seguente modo: \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{x+{{x}^{2}}} \right)}^{2x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{x+{{x}^{2}}}-1 \right) \right)}^{2x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\left( \frac{1-x}{x+{{x}^{2}}} \right) \right)}^{2x}}=\] \[=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+\frac{1}{\left( \frac{x+{{x}^{2}}}{1-x} \right)} \right)}^{\frac{x+{{x}^{2}}}{1-x}}} \right)}^{\frac{2x\left( 1-x \right)}{x+{{x}^{2}}}}}={{e}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+x}}}={{e}^{-2}}=\frac{1}{{{e}^{2}}}\quad .\] Massimo Bergamini
