Un limite

Ricevo da Patrizia la seguente domanda:

 

Vorrei chiarimenti riguardo al seguente limite (n.493, pag.1534, Matematica.blu 2.0):

\[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{x+{{x}^{2}}} \right)}^{2x}}\quad .\]

Grazie mille.

 

Le rispondo così:

 

Cara Patrizia,

si tratta di un limite neperiano, che possiamo ridurre a forma canonica nel seguente modo:

\[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{x+{{x}^{2}}} \right)}^{2x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{x+{{x}^{2}}}-1 \right) \right)}^{2x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\left( \frac{1-x}{x+{{x}^{2}}} \right) \right)}^{2x}}=\] \[=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+\frac{1}{\left( \frac{x+{{x}^{2}}}{1-x} \right)} \right)}^{\frac{x+{{x}^{2}}}{1-x}}} \right)}^{\frac{2x\left( 1-x \right)}{x+{{x}^{2}}}}}={{e}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+x}}}={{e}^{-2}}=\frac{1}{{{e}^{2}}}\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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