Lucia propone il seguente esercizio:
Confronta fra loro gli infinitesimi seguenti:
\[f\left( x \right)=\ln \left( 1-2x \right),\quad g\left( x \right)=x\left( 1-{{e}^{3x}} \right)\] per \(x\to 0\).
Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuterebbe con questo esercizio (pag.1539, n.581, matematica.blu2.0):
Confronta fra loro gli infinitesimi seguenti:
\[f\left( x \right)=\ln \left( 1-2x \right),\quad g\left( x \right)=x\left( 1-{{e}^{3x}} \right),\quad \text{per }x\to 0\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
poiché: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( 1-{{e}^{3x}} \right)}{\ln \left( 1-2x \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{3x}{2}\cdot \frac{-2x}{\ln \left( 1-2x \right)}\cdot \frac{1-{{e}^{3x}}}{3x} \right)=0\cdot 1\cdot 1=0\] concludiamo che \(f(x)\) è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a \(g(x)\) nel limite \(x\to 0\).
Massimo Bergamini