Due problemi di max/min

Ricevo da Viola la seguente domanda: Buon giorno professore, le sarei grato se mi potesse dare un aiuto nello svolgimento dei seguenti esercizi (pag.1821, n.275 e n.277, Matematica.blu 2.0): 1) Fra tutti i rettangoli di data area, che misura \(a^2\), determina quello la cui diagonale è minima. 2) Fra tutti i rettangoli di data diagonale, che misura \(d\), determina quello di area massima. Grazie. Le rispondo così: Cara Viola, nel primo caso, poste \(x\) e \(y\) le misure dei lati, con \(x>0\), \(y>0\), si ha \(xy={{a}^{2}}\), da cui, scelta \(x\) come variabile del problema, \[y=\frac{{{a}^{2}}}{x}\to d\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{\sqrt{{{x}^{4}}+{{a}^{4}}}}{x}\] per cui, ricavata la derivata della funzione \(d(x)\) e analizzati zeri e segno della stessa: \[d'\left( x \right)=\frac{\frac{2{{x}^{4}}}{\sqrt{{{x}^{4}}+{{a}^{4}}}}-\sqrt{{{x}^{4}}+{{a}^{4}}}}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{4}}-{{a}^{4}}}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{4}}+{{a}^{4}}}}=\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{4}}+{{a}^{4}}}}\to \]\[\to d'\left( x \right)=0\wedge x>0\leftrightarrow x=a\] si conclude che per \(x=a\) si ha il minimo cercato, corrispondente al caso \(x=y=a\), cioè il caso del quadrato. Nel secondo caso, poste \(x\) e \(y\) le misure dei lati, con \(0<x<d\), \(0<y<d\), si ha: \[y=\sqrt{{{d}^{2}}-{{x}^{2}}}\to A\left( x \right)=xy=x\sqrt{{{d}^{2}}-{{x}^{2}}}\] per cui, ricavata la derivata della funzione \(A(x)\) e analizzati zeri e segno della stessa: \[A'\left( x \right)=\sqrt{{{d}^{2}}-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{d}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\frac{{{d}^{2}}-2{{x}^{2}}}{\sqrt{{{d}^{2}}-{{x}^{2}}}}\to \]\[\to A'\left( x \right)=0\wedge 0<x<d\leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}d\] si conclude che per \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}d\) si ha il massimo cercato, corrispondente al caso \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}d\), cioè di nuovo il caso del quadrato. Massimo Bergamini

Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Due problemi di max/min