Un grafico possibile

Ricevo da Valentina la seguente domanda: Buona sera, vorrei chiedere gentilmente come è possibile svolgere il seguente esercizio (pag.932, n.566, Matematica verde, vol.4): Disegna un grafico possibile per una funzione e traccia i suoi asintoti, sapendo che: \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{1}^{+}},\underset{x\to {{0}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{0}^{+}}\quad .\] Sono possibili più tipologie di grafico? La ringrazio anticipatamente. Le rispondo così: Cara Valentina, supponendo che \(f(x)\) sia una funzione definita e continua in tutto \(\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), osserviamo innanzitutto che il suo grafico, a causa della condizione \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{1}^{+}}\), presenta necessariamente un asintoto orizzontale \(y=1\) a cui la funzione tende (“da sopra”) per \(x\) che tende a \(-\infty\), e a causa della condizione \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{0}^{+}}\) presenta un secondo asintoto orizzontale, \(y=0\), a cui tende (sempre “da sopra”) per \(x\) che tende a \(+\infty\). Inoltre, la condizione \(\underset{x\to {{0}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \) implica la presenza di un asintoto verticale in corrispondenza dell’asse delle ordinate, cioè \(x=0\).

Un grafico possibile, che minimizza le variazioni di monotonia, è quello rappresentato in figura dalla linea più scura, ma è chiaro che le informazioni assegnate rendono possibile un’infinita varietà di grafici possibili, come ad esempio quello rappresentato in figura dalla linea più chiara. Massimo Bergamini

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