La retta del fascio (che al crescere di \(k\) “scorre verso l’alto” nel piano \(X-Y\)) passa per l’estremo \(A(0;1)\) dell’arco in corrispondenza al valore \(k=3\), e tale retta è una secante per l’arco stesso; per \(k=2\sqrt{2}\) la retta passa per l’estremo \(B\), e non incontra l’arco in altri punti; infine, per \(k=\sqrt{10}\) la retta del fascio è tangente all’arco \(AB\) nel punto \(T\), come si ricava dalla condizione che la distanza tra la retta del fascio e il centro \((0;0)\) sia pari a \(1\) (la scelta del valore positivo consegue da quanto detto riguardo al modo in cui la retta del fascio “si muove” al variare di \(k\)): \[\frac{\left| -k \right|}{\sqrt{9+1}}=1\to k=\pm \sqrt{10}\quad .\]
In conclusione: l’equazione ammette una soluzione accettabile per \(2\sqrt{2}\le k<3\), due soluzioni accettabili distinte per \(3\le k<\sqrt{10}\), due soluzioni accettabili coincidenti per \(k=\sqrt{10}\).
Massimo Bergamini
