Linda chiede aiuto per il calcolo dei seguenti limiti:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arcsin x}{x}\quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan x}{x}\quad .\]
Ricevo da Linda la seguente domanda:
Caro professore,
non so affrontare il calcolo di questi due limiti (n.315 e n.316, pag.1528, Matematica.blu 2.0):
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arcsin x}{x}\quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan x}{x}\quad .\]
Grazie
Le rispondo così:
Cara Linda,
in entrambi i casi si tratta di sfruttare un cambiamento di variabile per ricondursi a limiti notevoli. Nel primo caso, posto \(t=\arcsin x\), si ha \(x=\sin t\), e poiché \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\) implica \(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\):\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arcsin x}{x}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\sin t}=1\quad .\]
In modo analogo, nel secondo caso, posto \(t=\arctan x\), si ha \(x=\tan t\), e poiché \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\) implica \(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\): \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan x}{x}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\tan t}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \cos t\frac{t}{\sin t} \right)=1\quad .\]
Massimo Bergamini
