Annalisa chiede un aiuto per la discussione di questa equazione differenziale lineare del terzo ordine:
\[y^{\prime\prime\prime}+ky=0\quad k\in \mathbb{R}\quad .\]
Ricevo da Annalisa la seguente domanda:
Salve professore,
ho un problema con la seguente equazione differenziale: \[y^{\prime\prime\prime}+ky=0\quad k\in \mathbb{R}\quad .\]
Bisogna determinare le soluzioni al variare di \(k\). Suppongo che si debba stabilire il tipo di soluzione in base al valore di \(k\) (cioè all'intervallo in cui si trova \(k\)) ma non mi è chiaro come procedere nel dettaglio.
Grazie
Le rispondo così:
Cara Annalisa,
si tratta di un’equazione lineare del terzo ordine a coefficienti costanti omogenea, e pertanto le sue soluzioni si ottengono combinando linearmente funzioni del tipo \({{x}^{n}}{{e}^{\lambda x}}\), dove \(\lambda\) è soluzione dell’equazione caratteristica associata, cioè: \({{\lambda }^{3}}+k=0\). Tale equazione, per \(k\ne 0\), ha sempre una soluzione reale e due soluzioni complesse coniugate, cioè: \[{{\lambda }^{3}}+k=\left( \lambda +\sqrt[3]{k} \right)\left( {{\lambda }^{2}}-\lambda \sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{{{k}^{2}}} \right)=0\to {{\lambda }_{1}}=-\sqrt[3]{k},{{\lambda }_{2,3}}=\frac{\sqrt[3]{k}}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{k}\]
Pertanto, la soluzione generale dell’equazione, nel caso \(k\ne 0\), è data da: \[y\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{-\sqrt[3]{k}x}}+{{c}_{2}}{{e}^{\frac{\sqrt[3]{k}}{2}x}}\cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{k}x \right)+{{c}_{3}}{{e}^{\frac{\sqrt[3]{k}}{2}x}}\sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{k}x \right),\quad {{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}}\in \mathbb{R}\quad .\]
Nel caso \(k=0\), l’equazione caratteristica ammette \(\lambda =0\) come soluzione di molteplicità \(3\), per cui la soluzione generale dell’equazione è data da: \[y\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{0\cdot x}}+{{c}_{2}}x{{e}^{0\cdot x}}+{{c}_{3}}{{x}^{2}}{{e}^{0\cdot x}}={{c}_{1}}+{{c}_{2}}x+{{c}_{3}}{{x}^{2}},\quad {{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}}\in \mathbb{R}\quad .\]
Massimo Bergamini
