dopo aver osservato che l’intervallo \(\left[ 0;2 \right]\) corrisponde ad un periodo della funzione \(\sin(\pi x)\), e che la funzione \(f(x)\) è continua e derivabile in \(\left[ 0;2 \right]\), con \(f(0)=0\) e \(f(2)=2\), e che \[f'\left( x \right)=1+\pi \cos \left( \pi x \right)=0\leftrightarrow\]\[\leftrightarrow {{x}_{1}}=\frac{1}{\pi }\arccos \left( -\frac{1}{\pi } \right)\vee {{x}_{2}}=2-\frac{1}{\pi }\arccos \left( -\frac{1}{\pi } \right)\] per cui il grafico presenta un massimo relativo in corrispondenza a \(x_1\) e un minimo relativo in corrispondenza a \(x_2\), si può tracciare un grafico plausibile della funzione, dopo aver osservato anche che tale grafico è necessariamente simmetrico rispetto al punto \((1;1))\), essendo infatti: \[2-y=2-x+\sin \left( \pi \left( 2-x \right) \right)\to y=x-\sin \left( 2\pi -\pi x \right)=x+\sin \left( \pi x \right)\quad .\]
Poiché la retta \(OA\) ha equazione \(y=x\), le tangenti al grafico che delimitano il parallelogramma \(PQRS\) devono avere pendenza \(1\): l’esistenza di almeno una di esse internamente all’intervallo \(\left[ 0;2 \right]\) è garantita dal teorema di Lagrange. Poniamo pertanto: \[f'\left( x \right)=1\to 1+\pi \cos \left( \pi x \right)=1\to \cos \left( \pi x \right)=0\to x=\frac{1}{2}\vee x=\frac{3}{2}\] per cui le rette sono tangenti nei punti \(B\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)\) e \(C\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\), e hanno equazioni \(y=x+1\) e \(y=x-1\): il parallelogramma ha base \(PS=2\) e altezza \(SQ=2\), per cui la sua area misura \(4\).
Massimo Bergamini
