L'esperto di matematica
Un problema di max/min
Paola propone il seguente problema:
Una targa d’argento ha la forma di un rettangolo di area \(600\;cm^2\). La zona dove va incisa l’iscrizione è anch’essa rettangolare ed è posta a \(2\;cm\) sia dal lato superiore sia dal lato inferiore della targa, lasciando inoltre un bordo di \(3\;cm\) a sinistra e di \(3\;cm\) a destra. Si determinino le dimensioni della targa in modo che sia massima l’area della zona dedicata all’incisione e si calcoli la percentuale dell’area totale da essa occupata.
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indicata con \(x\) la misura in centimetri del lato con i margini di \(3\;cm\) e con \(y\) la misura in centimetri dell’altro lato, poiché si deve avere \(xy=600\), si ha \(x>6\), da cui, essendo \(y=\frac{600}{x}\), consegue \(y<100\), e \(y>4\), da cui consegue \(x<150\): pertanto, se scegliamo \(x\) come variabile indipendente del problema, si ha la limitazione \(6<x<150\).
L’area utile per l’incisione è data da \[S\left( x \right)=\left( x-6 \right)\left( \frac{600}{x}-4 \right)=624-4x-\frac{3600}{x}\]
la cui derivata \[S'\left( x \right)=\frac{3600-4{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\frac{\left( 60+2x \right)\left( 60-2x \right)}{{{x}^{2}}}\] si annulla per \(x=30\), ed è positiva per \(6<x<30\), negativa per \(30<x<150\), per cui tale valore rappresenta il massimo cercato, a cui corrisponde \(y=20\), e un’area utile massima pari a \(S\left( 30 \right)=24\cdot 16=384\ c{{m}^{2}}\), pari al \(64\%\) dell’area totale della targa.
Massimo Bergamini
Silvana
17 maggio 2023 alle 17:26
Utilissimo