Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
Tecnologia
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Podcast
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca
L'esperto di matematica

Due problemi su funzioni e limiti

Rispondo a Lucia in merito a due problemi relativi a funzioni di cui studiare dominio, limiti, punti di discontinuità, asintoti.
leggi
Ricevo da Lucia la seguente domanda:   Caro professore, ho difficoltà con questi due problemi (pag.1566, nn. 25, 27, Matematica.blu 2.0).   1) Considerata la funzione \[f\left( x \right)=\frac{\ln \left( \left| 2x+1 \right|-2 \right)}{x-4}\quad :\] a) determina il dominio; b) studia il comportamento agli estremi del dominio; c) dimostra che negli intervalli \(\left[ -3;-\frac{7}{4} \right]\) e \(\left[ \frac{3}{4};3 \right]\) si annulla almeno una volta; d) calcola le soluzioni di \(f\left( x \right)=0\); e) traccia il grafico possibile.   2) Dopo aver trovato per quali valori del parametro reale \(k\) la funzione \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sin kx}{x}\quad x<0 \\ \frac{x^2-k+1}{x-2}\quad x\ge 0 \end{array} \right.\] presenta una discontinuità di prima specie con salto \(l=1\) in \(x=0\), a) determina il dominio; b) classifica eventuali altri punti di discontinuità; c) ricerca gli asintoti.   Grazie.   Le rispondo così:   Cara Lucia, nel primo caso, la funzione esiste per quei valori di \(x\) tali che \(\left| 2x+1 \right|>2\) e \(x\ne 4\), cioè per \(x\in \left] -\infty ;-\frac{3}{2} \right[\cup \left] \frac{1}{2};+\infty  \right[-\left\{ 4 \right\}\), e pertanto può essere così riscritta: \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\ln(2x-1)}{x-4}\quad x>\frac{1}{2},\;x\ne 4 \\ \frac{\ln(-2x-3)}{x-4}\quad x<\frac{-3}{2} \end{array} \right.\quad .\] Considerando il fatto che l’infinito logaritmico è d’ordine inferiore all’infinito campione \(x\) nel limite per \(x\to +\infty\), si ha: \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\quad \underset{x\to -{{\frac{3}{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{-\infty }{-11/2}=+\infty \]\[\underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{-\infty }{-7/2}=+\infty \quad \underset{x\to {{4}^{\mp }}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{\ln 7}{{{0}^{\mp }}}=\mp \infty \quad .\] Poiché: \[f\left( -3 \right)=-\frac{\ln 3}{7}<0\quad f\left( -\frac{7}{4} \right)=\frac{4\ln 2}{23}>0\]\[f\left( \frac{3}{4} \right)=\frac{4\ln 3}{13}>0\quad f\left( 3 \right)=-\ln 5<0\] l’esistenza di almeno uno zero negli intervalli considerati è dimostrata (teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato con variazione di segno); d’altra parte gli zeri della funzione possono essere determinati in modo esatto risolvendo le equazioni seguenti: \[\ln \left( 2x-1 \right)=0\to 2x-1=1\to x=1\quad \ln \left( -2x-3 \right)=0\to -2x-3=1\to x=-2\quad .\] Nel secondo caso, la funzione presenta una discontinuità di prima specie con salto \(l=1\) in \(x=0\) se e solo se \(\left| \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) \right|=1\), cioè: \[\left| k-\frac{k-1}{2} \right|=1\to k=1\vee k=-3\quad .\] Il dominio della funzione è \(D=\mathbb{R}-\left\{ 2 \right\}\), per ogni \(k\) reale. Riguardo ai punti di discontinuità, si può dire che:
  • per \(k=-1\), in \(x=0\) si ha una discontinuità di III specie, in \(x=2\) una di II specie;
  • per \(k=5\), in \(x=0\) si ha una discontinuità di I specie, in \(x=2\) una di III specie;
  • per \(k\ne -1\vee k\ne 5\) in \(x=0\) si ha una discontinuità di I specie, in \(x=2\) una di II specie.
Riguardo agli asintoti, qualunque sia il valore di \(k\) l’asse \(y=0\) è asintoto orizzontale e la retta \(y=x-2\) è asintoto obliquo, essendo \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=1\) e \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-x \right)=2\), mentre la retta \(x=2\) è asintoto verticale purchè sia \(k\ne 5\).   Massimo Bergamini
figura1261
figura1262

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento