con riferimento alla figura, dopo aver determinato \(A(4,4)\) e \(O(0,0)\), indichiamo con \((t,t)\), \(0\le t \le 4\), le coordinate del generico punto \(P\) sul segmento \(OA\). Si osserva che: \[Q\left( 2\sqrt{t},t \right)\quad \quad R\left( t,\frac{1}{4}{{t}^{2}} \right)\] per cui \[\overline{PQ}=2\sqrt{t}-t\quad \quad \overline{PR}=t-\frac{1}{4}{{t}^{2}}\] dove si è potuto evitare di utilizzare valori assoluti poiché nell’intervallo considerato per la variabile \(t\) la relazione d’ordine tra le coordinate dei punti è tale che le precedenti espressioni delle lunghezze dei segmenti sono definite positive. Per il calcolo delle aree dei triangoli \(POR\) e \(POQ\) basta osservare che, preso \(PQ\) come base, l’ordinata \(t\) di \(P\) è l’altezza relativa nel triangolo \(POQ\), e similmente, preso \(PR\) come base, l’ascissa \(t\) di \(P\) è l’altezza relativa nel triangolo \(POR\), per cui: \[{{S}_{POR}}=\frac{1}{2}t\left( t-\frac{1}{4}{{t}^{2}} \right)\quad \quad {{S}_{POQ}}=\frac{1}{2}t\left( 2\sqrt{t}-t \right)\] e quindi la funzione da massimizzare è la seguente: \[S\left( t \right)={{S}_{POR}}+{{S}_{POQ}}={{t}^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{8}{{t}^{3}}\quad .\]
Deriviamo \(S(t)\) e analizziamone segno e zeri: \[S'\left( t \right)=\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{8}{{t}^{2}}\to S'\left( t \right)=0\leftrightarrow t=0\vee t=2\sqrt[3]{2}\] e poiché \(S'\left( t \right)>0\) per \(0<t<2\sqrt[3]{2}\), \(S'\left( t \right)<0\) per \(2\sqrt[3]{2}<t<4\), si ha che in corrispondenza a \(t=2\sqrt[3]{2}\) si verifica il massimo cercato, definito dal punto \(P\left( 2\sqrt[3]{2},2\sqrt[3]{2} \right)\).
Massimo Bergamini
