è \(9-h\), si ha che la retta del fascio è secante se \(h<9\), tangente se \(h=9\), esterna se \(h>9\). Posto che sia \(h<9\), le ascisse dei punti \(P\) e \(Q\) in cui la retta del fascio interseca la parabola sono date da \({{x}_{1,2}}=3\pm \sqrt{9-h}\), da cui le coordinate di \(P\) e \(Q\) in funzione di \(h\): \[P\left( 3-\sqrt{9-h};\left( 3-\sqrt{9-h} \right)\left( 5+\sqrt{9-h} \right) \right)\] \[Q\left( 3+\sqrt{9-h};\left( 3+\sqrt{9-h} \right)\left( 5-\sqrt{9-h} \right) \right)\quad .\] Per ricavare le equazioni delle tangenti \(t_1\) e \(t_2\) alla parabola nei punti \(P\) e \(Q\) possiamo usare la formula di sdoppiamento: \[\frac{y+{{y}_{0}}}{2}=a{{x}_{0}}x+b\frac{x+{{x}_{0}}}{2}+c\] dove \(a\), \(b\) e \(c\) sono i coefficienti del trinomio di 2° grado che definisce la parabola e \((x_0;y_0)\) è il punto di tangenza. Pertanto, poiché nel nostro caso \(a=-1\), \(b=8\) e \(c=0\), si ha: \[{{t}_{1}}:\ \frac{y+\left( 3-\sqrt{9-h} \right)\left( 5+\sqrt{9-h} \right)}{2}=\]\[=-\left( 3-\sqrt{9-h} \right)x+4\left( x+3-\sqrt{9-h} \right)\] \[{{t}_{2}}:\ \frac{y+\left( 3+\sqrt{9-h} \right)\left( 5-\sqrt{9-h} \right)}{2}=\]\[=-\left( 3+\sqrt{9-h} \right)x+4\left( x+3+\sqrt{9-h} \right)\] da cui: \[{{t}_{1}}:\ y=2\left( 1+\sqrt{9-h} \right)x+\left( 18-6\sqrt{9-h}-h \right)\] \[{{t}_{2}}:\ y=2\left( 1-\sqrt{9-h} \right)x+\left( 18+6\sqrt{9-h}-h \right)\] e pertanto la condizione di perpendicolarità tra \(t_1\) e \(t_2\) è semplicemente: \[4\left( 1+\sqrt{9-h} \right)\left( 1-\sqrt{9-h} \right)=-1\to 4\left( h-8 \right)=-1\to h=\frac{31}{4}\quad .\] La retta del fascio corrispondente a tale valore di \(h\) è quindi \(8x-4y+31=0\), e le equazioni delle rette \(t_1\) e \(t_2\) sono: \[{{t}_{1}}:\ y=\left( 2+\sqrt{5} \right)x+\frac{41}{4}-3\sqrt{5}\] \[{{t}_{2}}:\ y=\left( 2-\sqrt{5} \right)x+\frac{41}{4}+3\sqrt{5}\] le quali si intersecano nel punto \(R\) di coordinate \(R\left( 3;\frac{65}{4} \right)\). Il triangolo \(PRQ\) individuato dalle rette \(t_1\), \(t_2\) e \(r\) è rettangolo in \(R\), per cui: \[\overline{PR}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{25}{4}+5+5\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{25}{2}+5\sqrt{5}}\] \[\overline{QR} = \sqrt{\frac{5}{4}+\frac{25}{4}+5-5\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{25}{2}-5\sqrt{5}}\] da cui: \[{{S}_{PRQ}} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25}{2}+5\sqrt{5}}\sqrt{\frac{25}{2}-5\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{625}{4}-125}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{125}{4}}=\frac{5}{4}\sqrt{5}\quad .\]
Massimo Bergamini
