nel primo caso, sia \(AA’BB’\) il rettangolo inscritto nel segmento parabolico definito dall’ascissa \(x\) di \(A\) e \(B\), con \(0\le x\le 3\), essendo \(x=3\) l’asse di simmetria della parabola. Detta \(S(x)\) l’area di tale rettangolo, si ha: \[S\left( x \right)=\left( 6-2x \right)\left( -2{{x}^{2}}+12x \right)=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+72x\quad .\] Deriviamo \(S(x)\) e analizziamo zeri e segno della derivata: \[S'\left( x \right)=12{{x}^{2}}-72x+72=0\leftrightarrow x=3\pm \sqrt{3}\] e osserviamo che il massimo richiesto si presenta in \(x=3-\sqrt{3}\), cui corrisponde un’area massima \(S=24\sqrt{3}\).
Nel secondo caso, detta \(h\) l’altezza del trapezio (isoscele) iscritto nella semicirconferenza, si ha che la base minore è data da \(2\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}\), per cui si ha l’area \(S\) del trapezio in funzione di \(h\): \[S\left( h \right)=hr+h\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}\quad 0\le h\le r\quad .\] Deriviamo \(S(h)\) e analizziamo zeri e segno della derivata: \[S'\left( h \right)=\frac{r\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}+{{r}^{2}}-2{{h}^{2}}}{\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}}=0\leftrightarrow r\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}=2{{h}^{2}}-{{r}^{2}}\to \]\[\to 4{{h}^{4}}=3{{h}^{2}}{{r}^{2}}\to h=\frac{\sqrt{3}}{2}r\] valore accettabile e che realizza il massimo richiesto, cioè \(S=\frac{3\sqrt{3}}{4}{{r}^{2}}\).
Nel terzo caso, posto \(x=P\hat{A}B\), con \(0\le x\le \pi/2\) (scelta utile ma non l’unica 
possibile: ad esempio, si poteva porre \(x=PQ\), con \(0\le x\le 2r\)), si ha: \[\overline{PQ}=\overline{HB}=2r-2r{{\cos }^{2}}x=2r{{\sin }^{2}}x\quad \overline{PA}=2r\cos x\] pertanto la funzione da massimizzare è: \[f\left( x \right)=\overline{PQ}+\overline{PA}=2r{{\sin }^{2}}x+2r\cos x\quad .\] Deriviamo \(f(x)\) e analizziamo zeri e segno della derivata: \[f'\left( x \right)=4r\sin x\cos x-2r\sin x=2r\sin x\left( 2\cos x-1 \right)\]\[f'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=0\vee x=\frac{\pi }{3}\left( 2\cos x-1 \right)\]e si osserva che, in base al segno assunto dalla derivata nell’intervallo \(0\le x\le \pi/2\), il massimo cercato corrisponde a \(x=\frac{\pi }{3}\).
Massimo Bergamini
