L'esperto di matematica
Un problema di geometria analitica
Gabriele chiede aiuto riguardo al seguente problema:
Scrivi l’equazione della parabola \(\gamma\) avente come asse di simmetria la retta di equazione \(x+4=0\) e tangente nell’origine \(O\) alla retta di equazione \(y-4x=0\). Preso un punto \(Q\) sulla parabola e detto \(A\) il punto di intersezione di \(\gamma\) con l’asse \(x\) distinto da \(O\), determina l’area del triangolo \(QOA\) in funzione dell’ascissa di \(Q\) e rappresenta graficamente la funzione ottenuta.
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le condizioni che definiscono la parabola possono riassumersi nelle seguenti condizioni per i parametri \(a\), \(b\) e \(c\) della stessa: \[-\frac{b}{2a}=-4\quad c=0\quad {{\left( b-4 \right)}^{2}}=0\] da cui l’equazione della parabola: \[y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+4x\quad .\] Si ricava quindi che il punto \(A\) ha coordinate \((-8;0)\), per cui il triangolo \(QOA\) ha base \(OA=8\) e altezza relativa \(QH=|y_Q|=|\frac{1}{2}{{x}^{2}}+4x|\), pertanto la sua area è data dalla funzione \[f\left( x \right)=\frac{1}{2}8\left| \frac{1}{2}{{x}^{2}}+4x \right|=2\left| {{x}^{2}}+8x \right|\]il cui grafico coincide con quello della parabola \(y=2x^2+16\) per \(x<-8\vee x>0\), con quello della parabola opposta per \(-8\le x\le 0\).
Massimo Bergamini
