\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x}{x+2}\quad x\le -2\vee x\ge 0 \\ -\frac{x}{x+2}\quad -2<x<0 \end{array} \right.\]
\[f’(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2}{(x+2)^2}\quad x< -2\vee x> 0 \\ -\frac{2}{(x+2)^2}\quad -2<x<0 \end{array} \right.\]
e poiché si può dimostrare che qualora esistano, finiti o infiniti, i limiti destro e/o sinistro della funzione derivata questi coincidono con i limiti destro e/o sinistro del rapporto incrementale, si ha per \(x=0\): \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=-\frac{1}{2}\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=+\frac{1}{2}\] per cui \(x=0\) è un punto angoloso, e l’angolo \(\alpha\) fra le due semi-rette tangenti è tale che \(\tan \alpha =\pi -\arctan \left| \frac{1}{1-1/4} \right|\approx 126,87{}^\circ\).
Nell’ultimo caso, essendo \(y'=\frac{2x}{2{{x}^{2}}-1}\), e poiché le intersezioni della curva con l’asse \(x\) avvengono nei punti di ascissa \(x=\pm 1\), si hanno le rette tangenti: \[y=2x-2\quad y=-2x-2\] che si intersecano nel punto \((0;-2)\), per cui il triangolo da esse definito insieme all’asse \(x\) ha area \(2\).
Massimo Bergamini
