Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gent.mo professore,
ho delle difficoltà con alcuni punti di questo esercizio (pag.897, n.361, Matematica.blu 2.0, vol.4).
Nella semicirconferenza di diametro \(AB=2\) e centro \(O\), è condotta la semiretta contenente il raggio \(OQ\) perpendicolare ad \(AB\). Considerato il generico punto \(P\) della semicirconferenza indica con \(H\) la sua proiezione su \(AB\) e con \(L\) il punto della semiretta \(OQ\) tale che l’angolo \(H\hat{P}L\) sia diviso in due parti congruenti dal raggio \(OP\).
a) Esprimi la misura di \(OL\) in funzione dell’angolo \(x=O\hat{P}L\), indicando anche il corrispondente dominio.
b) Determina per quali valori di \(x\) la misura di \(OL\) è maggiore del raggio.
c) Posto \(x=\frac{\pi }{6}\), determina gli angoli formati dalle diagonali del quadrilatero \(OHPL\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
osserviamo che, passando \(P\) da \(Q\) ad \(A\), l’angolo \(x=O\hat{P}L=O\hat{P}H=P\hat{O}L\) passa da \(0\) a tendenzialmente \(\frac{\pi }{2}\), mentre passando da \(Q\) a \(B\) si ha una situazione perfettamente simmetrica, pertanto: \(0<x<\frac{\pi }{2}\). La costruzione geometrica mostra come il triangolo \(POL\) sia isoscele di vertice \(L\) e base \(PO=1\), e quindi come si abbia \(OL=\frac{1}{2\cos x}\). La richiesta che sia \(OL>1\) implica quindi \(0<\cos x<\frac{1}{2}\), da cui \(\frac{\pi }{3}<x<\frac{\pi }{2}\). L’ultima richiesta implica \(OH=\frac{1}{2}\) e \(OL=\frac{\sqrt{3}}{3}\), per cui l’angolo \(\gamma=H\hat{L}O\) ha tangente \(\tan \gamma =\frac{\sqrt{3}}{2}\), e quindi, considerando che \(\gamma\) è necessariamente acuto, \(\sin \gamma =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\) e \(\cos \gamma =\frac{2}{\sqrt{7}}\). Ne consegue, osservando il triangolo \(LCO\), che: \[\sin \delta =\sin \left( \frac{\pi }{6}+\gamma \right)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2\sqrt{7}}\] pertanto, considerando che \(\delta =L\hat{C}O\) è ottuso, si ha \(\delta =L\hat{C}O=\arcsin \frac{5}{2\sqrt{7}}\), \(P\hat{C}L=\pi -\delta =\pi -\arcsin \frac{5}{2\sqrt{7}}\).
Massimo Bergamini