Ricevo da Marco la seguente domanda:
Gentile professore,
le chiedo aiuto riguardo questi due quesiti in cui bisogna applicare il teorema di Lagrange:
1) a. Dimostra che per ogni \(t>0\) si ha \(t-{{\sin }^{2}}t>0\).
b. Deduci dalla a. che \(\sqrt{x}-\sin x>0\) per ogni \(x>0\).
c. Dimostra che l'equazione \(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sin x=0\) ha infinite soluzioni.
2) Dimostra che \({{x}^{x}}-\sin x>0\) per ogni \(x\in {{\mathbb{R}}^{+}}\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Marco,
nel primo caso, basta dimostrare che \(t>{{\sin }^{2}}t\) per ogni \(0<t<1\), poiché per \(t\ge 1\) è ovviamente vera, essendo \({{\sin }^{2}}t\le 1\) per ogni \(t\), anzi, basta dimostrare che per ogni \(0<t<1\) si ha \(t>\sin t\), essendo \(\sin t\ge {{\sin }^{2}}t\) per ogni \(t\); se ora vogliamo applicare il teorema di Lagrange alla funzione \(t-\sin t\) nell’intervallo \(\left[ 0,1 \right]\), si ha che, per ogni \(t\in \left] 0,1 \right[\), esiste un valore \(\bar{t}\in \left] 0,t \right[\) per il quale si verifica che: \[\frac{t-\sin t}{t}=1-\cos \bar{t}\] e poiché \(1-\cos \bar{t}>0\) per ogni \(0<\bar{t}<1\), (così come ovviamente è \(t>0\)), resta dimostrato che \(t-\sin t>0\) se \(0<t<1\), e quindi più in generale che \(t-{{\sin }^{2}}t>0\) per ogni \(t>0\). Poiché quindi \(x-{{\sin }^{2}}x=\left( \sqrt{x}+\sin x \right)\left( \sqrt{x}-\sin x \right)>0\), e poichè \(\sqrt{x}+\sin x>0\) è sicuramente vera per \(x>1\) (essendo \(\sqrt{x}>1\) per ogni \(x>1\)), e a maggior ragione è vera per \(0<x\ge 1\), in quanto in tale intervallo \(\sin x >0\), si conclude che \(\sqrt{x}-\sin x>0\) per ogni \(x>0\). Infine, per dimostrare che l’equazione \(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sin x=0\) ammette infinite soluzioni per \(x>0\) basta considerare gli infiniti intervalli del tipo \(\left[ \frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3}{2}\pi +2k\pi \right]\) , con \(k\in \mathbb{N}\), e osservare che, poiché \(\sqrt{\frac{\pi }{2}+2k\pi }>\frac{1}{2}\) per ogni \(k\in \mathbb{N}\), da cui \(\frac{1}{2\sqrt{\frac{\pi }{2}+2k\pi }}-1<0\) per ogni \(k\in \mathbb{N}\), mentre ovviamente \(\frac{1}{2\sqrt{\frac{3}{2}\pi +2k\pi }}+1>0\) per ogni \(k\in \mathbb{N}\), possiamo concludere che vi sono infiniti intervalli chiusi e limitati agli estremi dei quali la funzione continua \(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sin x\) cambia di segno, e pertanto in altrettanti infiniti intervalli la funzione si annulla almeno una volta.
Anche nel secondo caso, \({{x}^{x}}-\sin x>0\) è sicuramente vera per \(x\ge 1\), essendo vera per \(x=1\) ed essendo \(x^x>1\) per ogni \(x>1\) dal momento che la derivata di \(x^x\), cioè \(x^x(\ln x +1)\), è positiva per \(x>1/e\) e quindi \(x^x\), il cui valore in \(x=1\) è \(1\), risulta crescente per ogni \(x>1/e\). Per dimostrare che \({{x}^{x}}-\sin x>0\) anche per \(0<x<1\), possiamo dimostrare che \({{x}^{x}}-x>0\) per \(0<x<1\), e poichè \({{x}^{x}}-x>{{x}^{x}}-\sin x\), resterebbe dimostrata la tesi. Poiché \[{{x}^{x}}-x>0\leftrightarrow {{x}^{x}}>x\leftrightarrow {{x}^{x-1}}>1\leftrightarrow {{e}^{\left( x-1 \right)\ln x}}>1\leftrightarrow \left( x-1 \right)\ln x>0\] la tesi è dimostrata, in quanto \[0<x<1\to \left( x-1 \right)<0\wedge \ln x<0\to \left( x-1 \right)\ln x>0\quad .\]
Massimo Bergamini
